Optika geometris memperlakukan cahaya sebagai sinar yang bergerak lurus dalam medium homogen, berubah arah di antarmuka dua medium, dan membentuk bayangan melalui sistem lensa serta cermin. Perilaku cahaya di setiap medium ditentukan oleh suatu bilangan fundamental yang disebut indeks bias.
Seluruh pembahasan dalam bab ini — prinsip Fermat, hukum Snellius, pembentukan bayangan oleh lensa dan cermin, serta analisis matriks ABCD — merupakan bagian dari optika geometris, yaitu pendekatan yang memperlakukan cahaya sebagai sinar tanpa dimensi lintasan. Pendekatan ini hanya valid ketika dimensi karakteristik sistem optik jauh lebih besar daripada panjang gelombang cahaya yang merambat di dalamnya.
Secara kuantitatif, syarat ini dinyatakan sebagai:
di mana $D$ adalah dimensi karakteristik (diameter bukaan, ketebalan lensa, jarak antar elemen, atau ukuran detail objek) dan $\lambda$ adalah panjang gelombang cahaya di dalam medium tersebut. Sebagai gambaran, cahaya tampak memiliki rentang panjang gelombang $\lambda \approx 400$–$700\,\text{nm}$ di ruang hampa. Untuk sebagian besar sistem optik konvensional — lensa kamera ($D \sim 1$–$50\,\text{mm}$), prisma spektrometer ($D \sim 1$–$5\,\text{cm}$), atau cermin teleskop ($D \sim 0{,}1$–$10\,\text{m}$) — rasio $D/\lambda$ mencapai orde $10^3$ hingga $10^7$, sehingga optika geometris memberikan hasil yang sangat akurat.
Namun, ketika dimensi sistem mendekati skala panjang gelombang, fenomena gelombang yang diabaikan oleh optika geometris menjadi dominan:
Sebagai contoh konkret: serat optik komunikasi memiliki diameter inti sekitar $8$–$62{,}5\,\mu\text{m}$, yang hanya sekitar $15$–$120\times$ panjang gelombang inframerah ($\lambda \approx 1{,}55\,\mu\text{m}$). Pada rasio ini, difraksi sudah cukup signifikan sehingga analisis geometris murni tidak mencukupi — diperlukan teori gelombang terpandu (Bab 4). Demikian pula, difraksi pada bukaan pupil lensa menetapkan batas difraksi (diffraction limit) yang membatasi resolusi maksimum setiap sistem pencitraan, terlepas dari seberapa sempurna pembuatan lensanya.
Bab ini membangun kerangka geometris yang fundamental. Bab-bab selanjutnya akan secara bertahap memperluas kerangka ini dengan memasukkan sifat gelombang cahaya (Bab 2), sifat elektromagnetik penuh termasuk polarisasi (Bab 3), dan akhirnya panduan gelombang serta foton (Bab 4–5).
Cahaya di ruang hampa merambat dengan kecepatan tertinggi yang dimungkinkan oleh fisika, yaitu $c \approx 3{,}00 \times 10^8\,\text{m/s}$. Ketika cahaya memasuki suatu material transparan, kecepatannya berkurang. Rasio antara kecepatan cahaya di ruang hampa dan kecepatan cahaya di dalam material itulah yang didefinisikan sebagai indeks bias.
Indeks bias suatu medium didefinisikan sebagai rasio kecepatan cahaya di ruang hampa terhadap kecepatan cahaya di medium tersebut:
Dari persamaan gelombang elektromagnetik (akan dibahas di Bab 3), dapat ditunjukkan bahwa:
aproksimasi terakhir berlaku untuk medium non-magnetik di mana $\mu_r \approx 1$. Nilai $n \geq 1$ untuk semua material transparan dalam kondisi normal; $n = 1$ secara eksak hanya untuk ruang hampa.
Ketika cahaya melintasi batas dari ruang hampa (atau udara) ke dalam suatu medium transparan, tiga hal perlu diperhatikan:
Dalam banyak perhitungan, yang relevan adalah indeks bias relatif dari medium 2 terhadap medium 1:
Dengan ini, hukum Snellius dapat ditulis lebih ringkas: $\sin\theta_1 = n_{21}\sin\theta_2$.
Indeks bias bukan konstanta — ia bergantung pada panjang gelombang cahaya. Fenomena ini disebut dispersi dan akan dibahas secara mendalam di Bab 2. Sebagai gambaran: untuk kaca BK7, $n$ berubah dari sekitar $1{,}522$ pada $\lambda = 486\,\text{nm}$ (biru) menjadi $1{,}514$ pada $\lambda = 656\,\text{nm}$ (merah). Perbedaan kecil ini yang menyebabkan prisma memisahkan cahaya putih menjadi spektrum warna.
Sebuah berkas laser He-Ne memancarkan cahaya merah dengan panjang gelombang $\lambda_0 = 632{,}8\,\text{nm}$ di ruang hampa. Berkas cahaya tersebut kemudian ditembakkan menembus sebuah kristal safir ($\text{Al}_2\text{O}_3$) yang memiliki indeks bias $n = 1{,}766$. Jika kecepatan cahaya di ruang hampa adalah $c = 3{,}00 \times 10^8\,\text{m/s}$, hitunglah: (a) frekuensi cahaya laser tersebut, (b) kecepatan rambat cahaya di dalam kristal safir, dan (c) panjang gelombang cahaya di dalam kristal safir.
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Menghitung Frekuensi Cahaya ($f$): Frekuensi gelombang ditentukan sepenuhnya oleh sumber energi emisi dan nilainya konstan di medium mana pun. Menggunakan karakteristik di ruang hampa ($c = f\lambda_0$): $f = \dfrac{c}{\lambda_0} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8\,\text{m/s}}{632{,}8 \times 10^{-9}\,\text{m}}$ $f \approx \mathbf{4{,}74 \times 10^{14}\,\text{Hz}} \quad (474\,\text{THz})$ (b) Menghitung Kecepatan Cahaya di Dalam Medium ($v$): Kecepatan rambat berkurang akibat interaksi elektromagnetik dengan elektron di dalam kisi kristal safir: $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8\,\text{m/s}}{1{,}766}$ $v \approx \mathbf{1{,}70 \times 10^8\,\text{m/s}}$ (c) Menghitung Panjang Gelombang di Dalam Medium ($\lambda$): Panjang gelombang menyusut secara spasial sebanding dengan faktor indeks bias medium pembatasnya: $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n} = \dfrac{632{,}8\,\text{nm}}{1{,}766}$ $\lambda \approx \mathbf{358{,}3\,\text{nm}}$ Analisis Fisika: Meskipun panjang gelombangnya menyusut menjadi $358{,}3\,\text{nm}$ (yang secara spasial setara dengan wilayah spektrum ultraviolet di ruang hampa), cahaya laser ini tetap berwarna merah di dalam safir. Hal ini membuktikan secara fisis bahwa mata manusia merespons frekuensi getaran gelombang ($474\,\text{THz}$) atau energi foton, bukan panjang gelombang lokalnya.
Optika geometris dibangun di atas satu prinsip fundamental yang sangat elegan: cahaya memilih jalur yang meminimumkan (atau lebih tepat, membuat stasioner) waktu tempuhnya. Prinsip ini pertama kali dikemukakan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1662 dan merupakan contoh awal dari prinsip variasi dalam fisika — sebuah gagasan yang kemudian menjadi tulang punggung mekanika Lagrange dan Hamilton.
Bayangkan sebuah sinar cahaya bergerak dari titik $A$ ke titik $B$ melalui suatu medium yang mungkin tidak homogen. Waktu tempuh sinar tersebut adalah:
karena $v = c/n$. Integral $\displaystyle\int_A^B n(\mathbf{r})\, ds$ disebut panjang jalur optik (OPL). Meminimumkan waktu tempuh sama dengan meminimumkan OPL.
Sinar cahaya yang bergerak dari titik $A$ ke titik $B$ menempuh lintasan yang membuat panjang jalur optik stasioner terhadap variasi kecil lintasan tersebut:
Kondisi stasioner berarti variasi orde pertama dari OPL terhadap perubahan kecil lintasan bernilai nol. Dalam sebagian besar kasus, lintasan ini merupakan minimum (maka sering disebut prinsip waktu minimum), namun dapat pula berupa maksimum atau titik pelana pada konfigurasi tertentu.
Konsekuensi paling langsung dari prinsip Fermat: dalam medium homogen ($n$ konstan), OPL menjadi $n \int ds$, yang diminimumkan ketika $\int ds$ minimum — yaitu garis lurus. Dengan demikian, cahaya bergerak lurus dalam medium homogen, sebuah fakta yang sudah diketahui sejak zaman kuno namun kini memiliki landasan teoretis yang kuat.
Pada sebagian besar situasi praktis, lintasan Fermat memang merupakan minimum OPL. Namun, untuk refleksi pada permukaan cermin konkaf (titik objek berada di antara pusat kelengkungan dan cermin), lintasan yang dipilih sinar justru memaksimumkan OPL dibandingkan lintasan lain yang memotong permukaan cermin di titik yang lebih dekat. Ini menunjukkan bahwa kata kunci prinsip Fermat adalah stasioner, bukan minimum.
Prinsip Fermat tidak berlaku untuk fenomena yang melibatkan difraksi atau interferensi — yaitu ketika dimensi bukaan atau hambatan sebanding dengan panjang gelombang. Untuk kasus tersebut, diperlukan teori gelombang (Bab 2 dan 3).
Hukum Snellius (juga dikenal sebagai hukum pembiasan Snell-Descartes) menghubungkan sudut datang dan sudut bias ketika sinar cahaya melewati antarmuka planar antara dua medium transparan. Hukum ini merupakan konsekuensi langsung dari prinsip Fermat.
Misalkan sinar bergerak dari titik $A(0,\, y_1)$ di medium $n_1$ ke titik $B(d,\, -y_2)$ di medium $n_2$, melewati titik $P(x_0,\, 0)$ pada antarmuka (sumbu $x$). Panjang jalur optik:
Kondisi stasioner menuntut $\dfrac{dL}{dx_0} = 0$:
Dari geometri (lihat Gambar 1.3): $\sin\theta_1 = \dfrac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_1^2}}$ dan $\sin\theta_2 = \dfrac{d - x_0}{\sqrt{(d - x_0)^2 + y_2^2}}$. Substitusi menghasilkan:
Verifikasi bahwa ini memang minimum (bukan maksimum atau titik pelana) dapat dilakukan dengan mengecek bahwa turunan kedua $\dfrac{d^2L}{dx_0^2} > 0$ pada titik kritis, yang memang terpenuhi untuk $n_1, n_2 > 0$.
Persamaan Gaussian merangkum perilaku pencitraan paraksial pada satu permukaan sferis, kemudian diperluas menjadi lensa tipis, lensa tebal, dan cermin sferis. Seluruh penurunan dalam bagian ini berpijak pada prinsip Fermat dan pendekatan sudut kecil.
Panjang Lintasan Optik (Optical Path Length — OPL) total dari objek $O \to P \to I$ dinyatakan sebagai:
Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menghitung jarak geometris spasial masing-masing segitiga komponen:
Substitusikan nilai aproksimasi kelengkungan sagita $x \approx \dfrac{h^2}{2R}$ ke dalam persamaan di atas:
Gabungkan kedua hasil pendekatan tersebut kembali ke dalam rumus OPL utama ($L$):
Berdasarkan Prinsip Fermat, lintasan optik harus bersifat stasioner terhadap jalur variasi ketinggian masuknya sinar ($\frac{dL}{dh} = 0$):
Karena ketinggian paraksial $h \neq 0$, komponen di dalam kurung siku wajib bernilai nol, menghasilkan persamaan pembiasan sferis tunggal:
Langkah 1: Menentukan Jarak Bayangan ($s'$) Untuk mencari posisi bayangan ($s'$) secara langsung, kita mengisolasi suku $s'$ dengan memindahkan suku objek ke sisi kanan, lalu membagi seluruh persamaan dengan $n_2$:
Nilai $s'$ yang positif menandakan bayangan bersifat nyata (real) di dalam medium kedua, sedangkan nilai negatif menandakan bayangan maya (virtual) di medium pertama.
Langkah 2: Perbesaran Lateral Perbesaran lateral ($M$) dihitung dari rasio linear tinggi bayangan terhadap tinggi objek ($M = h'/h$). Hubungan ini diturunkan dengan mengamati berkas cahaya yang melintasi titik puncak permukaan (vertex $V$) pada Gambar 1.5:
Menggunakan pendekatan paraksial sudut kecil ($\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta$ dalam radian):
Karena sumbu optik bertindak sebagai garis normal di titik vertex $V$, kita menerapkan Hukum Snellius paraksial ($n_1\theta_1 = n_2\theta_2$):
Dengan mengatur ulang, diperoleh rumus perbesaran lateral universal permukaan sferis tunggal:
Langkah 3: Kasus Khusus Lensa Tipis di Udara Jika elemen tersebut ditransformasikan menjadi sebuah lensa tipis yang kedua sisi luarnya bersentuhan langsung dengan udara bebas ($n_1 = n_2 = 1$), kontribusi indeks bias saling meniadakan. Persamaan perbesaran linear mereduksi menjadi bentuk universal:
Tinggi fisik bayangan akhir ($h'$) diperoleh secara mutlak melalui perkalian magnitudo perbesaran dengan dimensi tinggi awal objek: $h' = |M| \cdot h$. Tanda negatif pada $M$ menandakan bayangan terbalik (inverted), sedangkan tanda positif menandakan bayangan tegak (upright).
Persamaan Gaussian untuk permukaan bola tunggal memberikan hubungan antara jarak objek dan jarak bayangan pada satu batas medium. Untuk mendapatkan persamaan lensa tipis, kita menggabungkan dua permukaan bola secara berurutan. Bayangan yang dibentuk oleh permukaan pertama ($R_1$) bertindak sebagai objek maya bagi permukaan kedua ($R_2$). Dengan menjumlahkan efek refraksi paraksial pada kedua permukaan dan mengabaikan ketebalan lensa, kita mendapatkan hubungan deviasi sudut total.
Untuk mendapatkan hubungan $s$–$s'$ untuk lensa tipis, kita terapkan persamaan Gaussian pada masing-masing permukaan dan jumlahkan.
Permukaan 1 (cembung, $R_1 > 0$, udara $n_1=1$ → kaca $n_2=n$):
Permukaan 2 (cekung dari sisi kaca, $R_2 < 0$, kaca $n_1=n$ → udara $n_2=1$), dengan objek maya $s_2 = -s_1'$:
Substitusi $\dfrac{1}{s_1'}$ dari persamaan permukaan pertama:
Susun ulang untuk mendapatkan bentuk standar persamaan lensa tipis:
Inilah yang juga ditunjukkan pada Gambar 1.6: $\Delta\theta = h/f$ adalah total defleksi sinar, dan setiap permukaan menyumbang defleksi yang berbeda ($\Delta\theta_1 \neq \Delta\theta_2$), menyebabkan aberasi pada lensa nyata.
Panjang fokus lensa tipis ditentukan oleh indeks bias material $n$ dan jari-jari kelengkungan kedua permukaannya:
Konvensi jari-jari: $R > 0$ jika pusat kelengkungan berada di sisi kanan permukaan (cembung menghadap kiri), $R < 0$ jika di sisi kiri (cekung menghadap kiri).
Perbesaran lateral untuk lensa tipis diperoleh dari analisis bola tunggal dengan $n_1 = n_2 = 1$ (kedua sisi udara), seperti yang telah diturunkan sebelumnya:
Tanda $M$ menentukan orientasi bayangan: $M > 0$ → tegak, $M < 0$ → terbalik. Nilai $|M|$ menentukan ukuran relatif bayangan: $|M| > 1$ → diperbesar, $|M| < 1$ → diperkecil.
Seorang teknisi optik ingin memfabrikasi sebuah lensa tipis cembung-cekung (meniscus konveks) di udara dari kaca mahkota BK7 yang memiliki indeks bias $n = 1{,}52$. Permukaan pertama lensa dirancang cembung dengan jari-jari kelengkungan $10\,\text{cm}$, sedangkan permukaan kedua dirancang cekung dengan jari-jari kelengkungan $20\,\text{cm}$. Kedua pusat kelengkungan sferis permukaan tersebut berada di sisi kanan lensa. Berdasarkan parameter rancangan tersebut, tentukan: (a) panjang fokus ($f$) dari lensa tipis tersebut beserta sifat lensanya (mengumpulkan atau menyebarkan cahaya), dan (b) letak bayangan ($s'$) dan perbesaran lateral ($M$) jika sebuah objek nyata diletakkan sejauh $30\,\text{cm}$ di depan lensa.
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Menghitung Panjang Fokus ($f$) Lensa: Sesuai dengan konvensi tanda yang berlaku, karena kedua pusat kelengkungan berada di sisi kanan permukaan lensa, maka tanda untuk kedua jari-jari sferis adalah positif: $R_1 = +10\,\text{cm}$ dan $R_2 = +20\,\text{cm}$ Masukkan nilai variabel ke dalam Persamaan Pembuat Lensa: $\dfrac{1}{f} = (n - 1) \left( \dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2} \right)$ $\dfrac{1}{f} = (1{,}52 - 1) \left( \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{20} \right) = 0{,}52 \cdot \left( \dfrac{2 - 1}{20} \right)$ $\dfrac{1}{f} = 0{,}52 \cdot \dfrac{1}{20} = \dfrac{0{,}52}{20} = \dfrac{1}{38{,}46}$ $f = \mathbf{+38{,}46\,\text{cm}}$ Karena nilai $f$ bertanda positif, lensa ini bersifat konvergen (mengumpulkan berkas sinar cahaya). (b) Menghitung Letak Bayangan ($s'$) dan Perbesaran Lateral ($M$): Gunakan persamaan standar lensa tipis Gaussian untuk objek nyata ($s = +30\,\text{cm}$): $\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{s}$ $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{38{,}46} - \dfrac{1}{30} \approx 0{,}0260 - 0{,}0333 = -0{,}00733$ $s' = \dfrac{1}{-0{,}00733} \approx \mathbf{-136{,}4\,\text{cm}}$ Tanda negatif pada $s'$ menunjukkan bahwa terbentuk bayangan maya yang terletak di sisi depan (sisi kiri) lensa. Selanjutnya, hitung perbesaran lateral ($M$) menggunakan formula koordinat linier: $M = -\dfrac{s'}{s} = -\dfrac{-136{,}4}{30}$ $M = \mathbf{+4{,}55}$ Analisis Fisika: Karena nilai $M > 0$, orientasi bayangan maya yang dihasilkan adalah tegak. Nilai mutlak $|M| = 4{,}55 > 1$ menandakan ukuran bayangan diperbesar secara lateral sebesar 4,55 kali dari dimensi objek aslinya. Meskipun salah satu permukaan lensa berbentuk cekung ($R_2$), secara keseluruhan sistem meniskus konveks ini tetap bertindak sebagai lup pembesar karena kurva cembung pertama mendominasi pembelokan sudut gelombang.
Persamaan Gaussian diterapkan juga untuk pemantulan. Secara formal, pemantulan dapat diperlakukan sebagai pembiasan dengan indeks bias "dibalik tanda" ($n_2 = -n_1$) — suatu trik matematis yang mencerminkan pembalikan arah perambatan sinar, bukan perubahan indeks bias yang sesungguhnya.
dengan $R < 0$ untuk cermin cekung (konvensi Kartesius: pusat kelengkungan di depan cermin), dan jarak diukur positif ke depan cermin (arah datangnya cahaya).
Misalkan sinar merambat dari objek titik $O$ di depan cermin cekung menuju titik pantul $P(x, h)$ pada permukaan cermin, lalu dipantulkan menuju titik bayangan nyata $I$. Jarak penurunan horizontal akibat kelengkungan sferis permukaan (sagita) didekati dengan $x \approx \frac{h^2}{2R}$. Panjang Lintasan Optik (OPL) total dalam medium udara ($n=1$) adalah:
Menggunakan aproksimasi binomial untuk menghitung jarak geometris dari segitiga siku-siku paraksial ($h \ll s, s'$):
Gabungkan kedua persamaan komponen tersebut ke dalam fungsi OPL utama:
Menurut Prinsip Fermat, lintasan yang dipilih harus bersifat stasioner terhadap variasi ketinggian berkas datang ($\frac{dL}{dh} = 0$):
Mengingat nilai tinggi paraksial $h \neq 0$, suku di dalam kurung siku wajib bernilai nol. Dengan konvensi tanda Kartesius di mana kelengkungan cermin cekung berpusat di depan permukaan ($R < 0$, sehingga tanda $R$ pada sagita dibalik), substitusi tanda menghasilkan rumus universal cermin sferis:
Untuk cermin cekung ($R < 0$), nilai $-2/R > 0$, sehingga sifat bayangan sangat bergantung pada posisi objek. Dengan mendefinisikan jarak fokus $f = -R/2$ (nilai $f > 0$ untuk cermin cekung), berikut beberapa posisi khusus:
Untuk sistem optik yang lebih kompleks (beberapa lensa, jarak bebas, cermin), metode matriks transfer sinar (ABCD matrix) memberikan cara yang sistematis dan komputasional. Setiap sinar pada suatu bidang transversal direpresentasikan oleh vektor kolom:
di mana $y$ adalah ketinggian sinar dari sumbu optik dan $\theta$ adalah sudut sinar terhadap sumbu (sudut kecil, pendekatan paraksial). Setiap elemen optik diwakili oleh matriks $2 \times 2$:
Untuk setiap elemen optik yang tidak mengandung medium penguat (gain) maupun peredam (atenuasi), determinan matriks memenuhi:
di mana $n_1$ dan $n_2$ adalah indeks bias di input dan output. Jika keduanya sama (misalnya seluruh sistem di udara), maka $AD - BC = 1$.
Untuk sinar yang merambat sejauh jarak horizontal $d$ dalam medium homogen dengan indeks bias konstan $n$, matriks transfer sinar ABCD dinyatakan sebagai:
Tinjau sebuah sinar yang bergerak lurus dalam ruang bebas dari Bidang Input (1) ke Bidang Output (2) yang terpisah sejauh jarak horizontal $d$.
Langkah 1: Perubahan Sudut Sinar ($\theta$) Karena medium bersifat homogen sempurna tanpa adanya batas material baru atau gradien densitas indeks bias, berkas cahaya akan merambat lurus tanpa mengalami pembelokan (defleksi). Oleh karena itu, sudut akhir sama dengan sudut awal:
Langkah 2: Perubahan Ketinggian Sinar ($y$) Secara trigonometri, perambatan sinar miring membentuk segitiga siku-siku dengan alas horizontal sepanjang $d$. Pertambahan tinggi vertikal sinar ($\Delta y$) dapat dihitung dengan:
Menggunakan pendekatan paraksial sudut kecil ($\tan\theta_1 \approx \theta_1$ dalam satuan radian), koordinat ketinggian baru pada Bidang 2 menjadi:
Langkah 3: Formulasi Matriks Transfer Sinar Menyusun kembali kedua persamaan linier di atas ke dalam bentuk perkalian matriks keadaan vektor kolom:
Untuk komponen lensa ideal yang ketebalan fisiknya dapat diabaikan ($d \approx 0$) dengan jarak fokus berkas konvergen $f$, matriks ABCD-nya adalah:
Ketika seberkas sinar paraksial melintasi lensa cembung tipis, pembiasan ganda kaca depan-belakang terjadi di posisi bidang horizontal yang hampir sama.
Langkah 1: Hubungan Ketinggian Sinar ($y$) Karena lensa diasumsikan tipis, berkas cahaya tidak memiliki ruang horizontal untuk bergeser naik/turun di dalam material lensa. Sinar keluar pada koordinat ketinggian yang sama persis saat ia masuk:
Langkah 2: Hubungan Perubahan Sudut Sinar ($\theta$) Berdasarkan prinsip fisis fokus lensa, semua berkas datang yang merambat horizontal sejajar sumbu utama ($\theta_1 = 0$) pada ketinggian $y_1$ akan dibiaskan memotong titik api fokus ($F$) di belakang lensa sejauh jarak $f$.
Lintasan pembiasan menukik ini membentuk segitiga siku-siku dengan tinggi vertikal $y_1$ dan alas horizontal sepanjang $f$. Sudut bias akhir $\theta_2$ mengarah ke bawah sumbu (secara konvensi bernilai negatif):
Melalui pendekatan sudut kecil paraksial ($\tan\theta_2 \approx \theta_2$), maka perubahan deviasi sudut akibat kelengkungan lensa adalah $\theta_2 \approx -y_1/f$.
Jika berkas sinar masuk sudah memiliki komponen kemiringan awal sudut tertentu $\theta_1$, maka kontribusi sudut awal tersebut ditambahkan secara linier dengan efek pembelokan kelengkungan kaca lensa:
Langkah 3: Formulasi Susunan Matriks Lensa Tipis Menyatukan kedua persamaan linear tersebut ke dalam representasi matriks transfer keadaan paraksial:
Untuk sistem yang terdiri dari beberapa elemen berurutan, matriks total diperoleh dari perkalian matriks berurutan dari kanan ke kiri (sesuai urutan sinar melewatinya):
Dua lensa tipis: $L_1$ dengan $f_1 = +10\,\text{cm}$ dan $L_2$ dengan $f_2 = -15\,\text{cm}$, dipisahkan sejauh $d = 8\,\text{cm}$. Hitung matriks sistem dan panjang fokus efektif.
Penyelesaian: Matriks masing-masing elemen (dari kiri ke kanan: $L_1$, perambatan $d$, $L_2$):
Matriks total (dihitung dari kanan ke kiri sesuai urutan tembus sinar):
Verifikasi determinan: $AD - BC = (0{,}2)(1{,}533) - (8)(-0{,}0867) = 0{,}3067 + 0{,}6933 = 1{,}00$. Terbukti benar karena seluruh sistem berada di udara.
Panjang fokus efektif sistem: $f_{\text{eff}} = -1/C = -1/(-0{,}0867) \approx +11{,}54\,\text{cm}$.
Sebuah lensa tebal dengan indeks bias $n$, jari-jari kelengkungan $R_1$ (permukaan depan) dan $R_2$ (permukaan belakang), serta ketebalan $d$ diukur sepanjang sumbu optik antara vertex $V_1$ dan $V_2$. Kedua sisi lensa berada di udara ($n_0 = 1$). Turunkan matriks sistem total dan tunjukkan bahwa rumus panjang fokus efektifnya mereduksi menjadi rumus Lensmaker ketika $d \to 0$.
Langkah 1: Matriks Per Elemen Dengan menggunakan tabel matriks ABCD standar, ketiga elemen lensa tebal memiliki matriks berikut:
Permukaan 1 — antarmuka sferis dari udara ($n_0 = 1$) ke kaca ($n$), radius $R_1$:
Perambatan dalam kaca — jarak $d$ pada medium indeks $n$:
Permukaan 2 — antarmuka sferis dari kaca ($n$) ke udara ($n_0 = 1$), radius $R_2$:
Langkah 2: Perkalian Matriks Bertahap Hitung matriks antara $M_{\text{int}} = M_d \cdot M_1$ terlebih dahulu:
Selanjutnya kalikan dengan $M_2$ dari kiri untuk mendapatkan matriks total:
Menghitung setiap elemen matriks hasil satu per satu:
Langkah 3: Panjang Fokus Efektif Panjang fokus efektif di sisi bayangan ditentukan oleh elemen $C$ matriks total. Karena $f' = -1/C$:
Hasil — Rumus Lensa Tebal
Suku pertama identik dengan rumus Lensmaker untuk lensa tipis. Suku kedua merupakan koreksi ketebalan yang semakin signifikan ketika $d$ tidak dapat diabaikan dibandingkan $|R_1|$ dan $|R_2|$. Pada limit $d \to 0$, suku koreksi menghilang dan persamaan mereduksi sempurna menjadi rumus Lensmaker standar.
Langkah 4: Pembuktian Posisi Bidang Utama via Sinar Fokus Untuk membuktikan letak jarak pergeseran bidang utama depan ($\delta = \overline{V_1 H}$) dan bidang utama belakang ($\delta' = \overline{V_2 H'}$), kita dapat meninjau berkas sinar khusus yang memancar atau mengumpul di titik fokus kardinal.
1. Pembuktian Jarak Bidang Utama Depan ($\delta$) Tinjau sebuah berkas sinar cahaya yang memancar dari titik fokus objek depan $F$. Menurut definisi titik kardinal, jarak titik fokus objek diukur dari bidang utama depan adalah $f'$. Karena bidang utama depan $H$ digeser sejauh $\delta$ dari vertex depan $V_1$ (positif ke kanan), dan $F$ terletak $f'$ di kiri $H$, maka jarak titik fokus objek ke vertex $V_1$ bernilai $(f' - \delta)$. Sinar yang memancar dari titik ini akan keluar dari lensa tebal dalam kondisi sejajar sempurna dengan sumbu optik.
Secara geometris paraksial, kondisi berkas sinar masuk menanjak dari titik fokus objek ini menghasilkan sudut datang sebesar:
Karena sinar keluar dari sistem lensa tebal dalam keadaan sejajar sumbu optik, maka parameter sudut keluarnya wajib bernilai nol ($\theta_2 = 0$). Dari rumusan matriks transfer sinar ABCD total, kita memiliki dua hubungan linear dasar:
Substitusikan syarat $\theta_2 = 0$ dan nilai $\theta_1$ ke dalam persamaan baris kedua matriks transfer:
Gunakan hubungan fisis panjang fokus efektif dari Langkah 3 di mana $f' = -1/C$, sehingga persamaan di atas menjadi:
Substitusikan elemen matriks $D = 1 + \frac{d(n-1)}{n R_2}$ yang diperoleh dari Langkah 2 ke dalam pembilang:
2. Pembuktian Jarak Bidang Utama Belakang ($\delta'$) Dengan logika matematis yang serupa, tinjau berkas sinar yang datang sejajar sumbu optik dari arah kiri depan ($\theta_1 = 0$) pada ketinggian masuk $y_1$. Setelah melewati lensa tebal, berkas sinar dibiaskan mengumpul tajam menuju titik fokus bayangan belakang $F'$. Jarak dari bidang utama belakang $H'$ ke titik fokus ini adalah $f'$. Karena $H'$ terletak sejauh $\delta'$ dari vertex belakang $V_2$ (positif ke kanan), jarak dari vertex $V_2$ ke titik fokus bayangan adalah $(f' + \delta')$.
Kondisi kemiringan berkas sinar keluar yang mengumpul menuju titik fokus belakang dari titik koordinat bidang batas output $(V_2, y_2)$ adalah:
Kembali gunakan rumusan baris pertama dan kedua dari sistem matriks ABCD total dengan mensubstitusikan syarat awal $\theta_1 = 0$:
Substitusikan nilai $\theta_2$ dan nilai penyederhanaan komponen tinggi keluar $y_2$ ke dalam persamaan geometri kemiringan fokus belakang:
Isolasi suku penyebut untuk menentukan nilai parameter posisi spasial pergeseran belakang $\delta'$:
Substitusikan kembali nilai dasar panjang fokus sistem $f' = -1/C$ ke dalam persamaan tersebut:
Terakhir, masukkan nilai elemen matriks $A = 1 - \frac{d(n-1)}{n R_1}$ yang diperoleh dari perkalian aljabar Langkah 2:
Untuk lensa cembung ganda (biconvex) simetris, aturan tanda kelengkungan geometri menyatakan $R_1 = +R$ dan $R_2 = -R$ dengan nilai $R > 0$. Substitusi nilai radius ini ke dalam rumus pembuktian di atas menghasilkan nilai $\delta$ yang positif ($\delta > 0$, bergeser ke kanan masuk ke dalam badan lensa dari $V_1$) dan nilai $\delta'$ yang negatif ($\delta' < 0$, bergeser ke kiri masuk ke dalam badan lensa dari $V_2$). Efek spasial tebal ini membuat kedua bidang utama saling bergeser mendekat di dalam interior material kaca lensa.
Langkah 5: Verifikasi Determinan Sebagai pengecekan konsistensi, verifikasi bahwa $AD - BC = 1$ (karena $n_{\text{input}} = n_{\text{output}} = 1$):
Langkah 6: Contoh Numerik Lensa cembung ganda simetris dengan $R_1 = +10\,\text{cm}$, $R_2 = -10\,\text{cm}$, $n = 1{,}5$, dan $d = 2\,\text{cm}$.
Aproksimasi lensa tipis (abaikan suku koreksi):
Rumus lensa tebal (dengan koreksi ketebalan):
Ketebalan $2\,\text{cm}$ menyebabkan pergeseran fokus sebesar $\approx 3{,}4\%$ dari nilai lensa tipis.
Posisi bidang utama (diukur dari masing-masing vertex, positif ke kanan). Substitusikan ke dalam rumus kotak Langkah 4 — perhatikan tanda minus di depan rumus dan tanda negatif $R_2$:
Artinya, bidang utama depan $H$ terletak 0,69 cm di sebelah kanan $V_1$ (di dalam badan lensa), dan bidang utama belakang $H'$ terletak 0,69 cm di sebelah kiri $V_2$ (juga di dalam badan lensa) — konsisten dengan pembahasan setelah persamaan kotak pada Langkah 4. Jarak antara kedua bidang utama adalah $\overline{HH'} = d + \delta' - \delta = 2 - 0{,}69 - 0{,}69 \approx 0{,}62\,\text{cm} \approx d/3$ — lebih kecil daripada ketebalan fisik lensa. Untuk lensa cembung ganda simetris, bidang-bidang utama tertarik ke dalam badan lensa dan saling mendekat. Efek ini diabaikan total oleh model lensa tipis.
Dengan menggunakan bidang utama sebagai acuan, persamaan Gaussian untuk lensa tebal memiliki bentuk yang persis sama dengan lensa tipis:
Perbedaannya hanya pada titik acuan pengukuran: $s$ diukur dari bidang utama depan $H$ (bukan $V_1$), dan $s'$ diukur dari bidang utama belakang $H'$ (bukan $V_2$). Inilah kekuatan konsep titik kardinal — sistem sekompleks apa pun dapat diperlakukan seperti lensa tipis asalkan jarak diukur dari bidang utama yang benar.
Dalam optik paraksial, sistem optik kompleks yang terdiri dari banyak elemen (seperti lensa kamera bertingkat atau objektif mikroskop) dapat disederhanakan menjadi sebuah "kotak hitam" (black box). Perilaku pencitraan paraksial dari sistem kompleks ini sepenuhnya dikarakterisasi oleh enam titik acuan yang terletak pada sumbu optik, yang dikelompokkan menjadi tiga pasang Titik Kardinal:
Menggunakan komponen parameter elemen dari Matriks Transfer Sinar ABCD sistem, posisi spasial jarak titik-titik kardinal tersebut dapat dihitung melalui rumusan paraksial berikut. Konvensi tanda: semua jarak diukur positif ke kanan (arah perambatan cahaya) dari bidang acuan — $P_{\text{in}}$ adalah bidang batas fisik input elemen pertama dan $P_{\text{out}}$ adalah bidang batas fisik output elemen terakhir (dinamai demikian agar tidak tertukar dengan titik utama $H$/$H'$). Tanda negatif berarti titik berada di kiri bidang acuan:
Titik-titik kardinal memungkinkan kita menganalisis sistem optik kompleks (misalnya objektif mikroskop atau lensa kamera) seolah-olah ia adalah sebuah lensa tipis tunggal, dengan jarak diukur dari bidang-bidang utama. Ini sangat mempermudah perhitungan tanpa perlu melacak setiap sinar melalui setiap permukaan.