Persamaan Maxwell menyatukan listrik dan magnet menjadi satu kerangka teoretis. Solusi gelombangnya mengungkapkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik transversal, membawa sifat-sifat fundamental: kecepatan tertentu, polarisasi, dan perilaku refleksi-transmisi di antarmuka.
Bab 2 telah membuktikan bahwa cahaya berperilaku sebagai gelombang — ia dapat berinterferensi, melentur (difraksi), dan tunduk pada prinsip superposisi. Namun, pembahasan tersebut memperlakukan cahaya sebagai gelombang skalar: sebuah besaran tunggal yang berosilasi tanpa identitas fisik yang jelas. Gelombang air memiliki perpindahan partikel air, gelombang suara memiliki variasi tekanan — tetapi apa yang sebenarnya berosilasi pada gelombang cahaya di ruang hampa? Bab 2 tidak menjawab pertanyaan fundamental ini.
Lebih jauh, perlakuan skalar menyembunyikan sifat vektorial cahaya. Tanpa mengetahui bahwa cahaya merupakan gelombang elektromagnetik transversal, kita tidak memiliki mekanisme untuk menjelaskan polarisasi — fakta bahwa cahaya memiliki orientasi getaran yang dapat dikendalikan, dipisahkan, dan dirotasi oleh elemen-elemen optik. Hukum Snellius dan hukum pemantulan pada bab sebelumnya diberikan sebagai fakta empiris; kita belum memiliki kerangka untuk menurunkannya dari prinsip pertama. Mengapa terjadi pergeseran fasa $\pi$ saat memantul dari medium lebih rapat? Mengapa pada sudut tertentu salah satu komponen polarisasi sama sekali tidak dipantulkan? Mengapa pada refleksi total internal masih ada medan yang menembus ke medium kedua? Pertanyaan-pertanyaan ini tetap terbuka.
Bab ini menutup seluruh kesenjangan tersebut dengan memperkenalkan persamaan Maxwell — empat persamaan yang menyatukan elektromagnetisme klasik ke dalam satu kerangka konsisten. Dari persamaan-persamaan ini kita akan menurunkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik yang terdiri dari medan listrik $\mathbf{E}$ dan medan magnet $\mathbf{B}$ yang saling tegak lurus dan berosilasi sefase. Kecepatan cahaya tidak lagi menjadi konstanta yang ditempelkan secara ad-hoc, melainkan muncul secara alamiah sebagai $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$. Sifat transversal, polarisasi, hukum Fresnel, sudut Brewster, pergeseran fasa pada TIR, medan evanescent, hingga prinsip desain lapisan antirefleksi — semuanya menjadi konsekuensi logis dari empat persamaan Maxwell dan syarat batasnya, bukan lagi daftar rumus yang harus dihafal terpisah.
Empat persamaan Maxwell merupakan rumusan lengkap hukum-hukum elektromagnetisme klasik. Dalam bentuk diferensial, mereka menghubungkan medan listrik $\mathbf{E}$ dan medan magnetik $\mathbf{B}$ (atau $\mathbf{H}$) dengan sumber-sumbernya: muatan listrik $\rho$ dan arus $\mathbf{J}$.
Hubungan konstitutif untuk medium linear, isotropik, dan nondispersif:
di mana $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ adalah permitivitas, $\mu = \mu_0 \mu_r$ adalah permeabilitas, dan $\sigma$ adalah konduktivitas listrik.
Persamaan Maxwell juga dapat ditulis dalam bentuk integral, yang sering lebih intuitif secara fisik:
Untuk medium tanpa muatan dan arus bebas ($\rho_f = 0$, $\mathbf{J}_f = \mathbf{0}$), serta medium tak bermuatan ($\sigma = 0$), persamaan Maxwell menjadi homogen. Kita dapat menurunkan persamaan gelombang untuk masing-masing medan.
Ambil rotasi dari hukum Faraday:
Substitusikan hukum Ampère–Maxwell (tanpa $\mathbf{J}_f$):
Gunakan identitas vektor $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}$. Karena $\nabla\cdot\mathbf{E} = \nabla\cdot\mathbf{D}/\epsilon = 0$ (dari hukum Gauss tanpa muatan):
Dengan cara serupa (ambil rotasi Ampère–Maxwell, substitusi Faraday):
Kedua medan memenuhi persamaan gelombang dengan kecepatan:
Di ruang hampa ($\mu_0$, $\epsilon_0$):
Fakta bahwa $c$ yang dihitung dari konstanta listrik dan magnetik sama persis dengan kecepatan cahaya yang diukur secara optik adalah salah satu pencapaian terbesar fisika abad ke-19, yang meyakinkan Maxwell bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik.
Dari $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ dan $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ (untuk gelombang bidang di ruang bebas muatan), serta bentuk $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$, diperoleh:
Ini berarti $\mathbf{E}$ dan $\mathbf{B}$ tegak lurus terhadap arah perambatan $\mathbf{k}$ — gelombang EM adalah gelombang transversal. Selain itu, dari hukum Faraday $i\mathbf{k}\times\mathbf{E} = i\omega\mathbf{B}$:
Rasio amplitudo medan listrik terhadap medan magnetik pada gelombang bidang didefinisikan sebagai impedansi intrinsik medium:
Di ruang hampa: $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0} \approx 377\,\Omega$ (disebut impedansi ruang bebas). Dalam medium: $\eta = \eta_0 / n$ untuk medium non-magnetik.
Berkas cahaya di ruang hampa memiliki komponen medan listrik yang dinyatakan sebagai: $\mathbf{E}(z,t) = 5\cos\!\left(6\pi \times 10^{14}\,t - \frac{2\pi}{\lambda} z\right)\,\hat{\mathbf{y}}\;\text{V/m}$ Hitunglah seluruh parameter gelombang elektromagnetik dan verifikasi sifat transversalnya.
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Parameter Gelombang Dasar: Dari persamaan medan listrik, kita identifikasi amplitudo dan frekuensi sudut: $E_0 = 5\;\text{V/m}, \quad \omega = 6\pi \times 10^{14}\;\text{rad/s}$ Frekuensi ($f$) gelombang adalah: $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi \times 10^{14}}{2\pi} = 3 \times 10^{14}\;\text{Hz} = 300\;\text{THz}$ Karena gelombang merambat di ruang hampa, cepat rambatnya adalah kecepatan cahaya ($c \approx 3 \times 10^8\;\text{m/s}$). Panjang gelombang ($\lambda$) dihitung melalui: $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^{14}} = 1 \times 10^{-6}\;\text{m} = 1\,\mu\text{m}$ Bilangan gelombang ($k$) menjadi: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1 \times 10^{-6}} = 2\pi \times 10^6 \approx 6{,}283 \times 10^6\;\text{rad/m}$ Vektor gelombang menyatakan arah perambatan (+z): $\mathbf{k} = 2\pi \times 10^6\,\hat{\mathbf{z}}\;\text{rad/m}$. (b) Medan Magnetik $\mathbf{B}$: Arah medan magnet $\mathbf{B}$ tegak lurus terhadap arah rambat $\hat{\mathbf{k}}$ dan medan listrik $\hat{\mathbf{E}}$ sesuai kaidah tangan kanan ($\hat{\mathbf{B}} = \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{E}} = \hat{\mathbf{z}} \times \hat{\mathbf{y}} = -\hat{\mathbf{x}}$). Magnitudo maksimumnya adalah: $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{5}{3 \times 10^8} \approx 1{,}667 \times 10^{-8}\;\text{T} = 16{,}67\;\text{nT}$ Sehingga persamaan medan magnetik lengkap dalam domain waktu adalah: $\mathbf{B}(z,t) = -1{,}667 \times 10^{-8}\cos\!\left(6\pi \times 10^{14}\,t - 2\pi \times 10^6 z\right)\,\hat{\mathbf{x}}\;\text{T}$ (c) Verifikasi Sifat Transversal: Gelombang bersifat transversal jika medan listrik dan medan magnet tegak lurus terhadap arah rambat (perkalian titik dengan vektor $\mathbf{k}$ bernilai nol): $\mathbf{k} \cdot \mathbf{E}_0 = (0,\, 0,\, k) \cdot (0,\, E_0,\, 0) = 0 \quad \checkmark$ $\mathbf{k} \cdot \mathbf{B}_0 = (0,\, 0,\, k) \cdot (-B_0,\, 0,\, 0) = 0 \quad \checkmark$ Kedua medan tegak lurus terhadap $\mathbf{k}$ — gelombang terverifikasi bersifat transversal. (d) Impedansi Intrinsik dan Vektor Poynting: Impedansi intrinsik ruang hampa ($\eta_0$) dan kerapatan daya rata-rata waktu ($\langle\mathbf{S}\rangle$) dihitung sebagai berikut: $\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377\,\Omega, \qquad \langle\mathbf{S}\rangle = \frac{E_0^2}{2\eta_0}\,\hat{\mathbf{z}}$ $\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{5^2}{2 \times 377}\,\hat{\mathbf{z}} = \frac{25}{754}\,\hat{\mathbf{z}} \approx 0{,}0332\,\hat{\mathbf{z}}\;\text{W/m}^2 = 33{,}2\,\hat{\mathbf{z}}\;\text{mW/m}^2$ Energi mengalir konstan ke arah $+z$.
Polarisasi menggambarkan orientasi lintasan geometris yang dibentuk oleh ujung vektor medan listrik $\mathbf{E}$ sebagai fungsi waktu pada suatu bidang spasial tetap. Untuk gelombang bidang monokromatik yang merambat sepanjang sumbu $z$, medan listrik tidak memiliki komponen longitudinal ($E_z = 0$) berdasarkan hukum Gauss. Oleh karena itu, $\mathbf{E}$ sepenuhnya berada pada bidang transversal $xy$ dan dapat diuraikan secara parametrik menjadi komponen $E_x$ dan $E_y$:
Keadaan polarisasi gelombang secara universal ditentukan oleh rasio amplitudo komponen $E_{0y}/E_{0x}$ dan keselisihan fase relatifnya, yang didefinisikan sebagai beda fase $\delta = \delta_y - \delta_x$.
Untuk membuktikan bentuk lintasan getaran medan listrik, kita harus mengeliminasi parameter ketergantungan temporal-spasial $\theta \equiv kz - \omega t$ dari kedua persamaan komponen. Mari kita jabarkan komponen proyeksi $E_x$ dan $E_y$ melalui perluasan trigonometri:
Substitusikan bentuk nilai $\cos(\theta + \delta_x) = \frac{E_x}{E_{0x}}$ dari Persamaan 1 ke dalam suku pertama Persamaan 2, lalu isolasi suku sinusnya:
Berdasarkan hubungan dasar identitas trigonometri $\sin(\theta + \delta_x) = \sqrt{1 - (E_x/E_{0x})^2}$. Substitusikan akar kuadrat ini ke dalam Persamaan 3, lalu kuadratkan kedua belah sisi secara serentak:
Pindahkan seluruh suku yang memuat komponen medan listrik ke ruas kiri. Menggunakan identitas $\cos^2\delta + \sin^2\delta = 1$, hasil akhir menghasilkan Persamaan Elips Polarisasi Gelombang EM Umum:
Jika beda fase bernilai $\delta = 0$ atau $\delta = \pi$, maka nilai $\sin\delta = 0$ dan $\cos\delta = \pm 1$. Persamaan elips umum langsung tereduksi menjadi bentuk kuadrat sempurna:
Ini adalah persamaan matematis dari sebuah getaran garis lurus dengan sudut kemiringan konstan terhadap sumbu $x$ sebesar $\alpha = \arctan(E_{0y}/E_{0x})$ untuk kondisi $\delta = 0$.
Jika amplitudo kedua komponen identik ($E_{0x} = E_{0y} \equiv E_0$) dan beda fase bernilai kuadran $\delta = \pm\pi/2$, maka nilai $\cos\delta = 0$ dan $\sin^2\delta = 1$. Persamaan umum tereduksi menjadi lingkaran sempurna:
Terdapat dua konvensi yang bertentangan: konvensi optik (didefinisikan dari sudut pandang penerima, melihat ke arah sumber) dan konvensi fisika/IEEE (didefinisikan dari sudut pandang sumber, melihat ke arah perambatan). Dalam konvensi IEEE, $\delta = +\pi/2$ disebut LCP. Catatan ini menggunakan konvensi optik.
Kasus paling umum terjadi ketika amplitudo tidak berimbang ($E_{0x} \neq E_{0y}$) atau nilai beda fase berada di luar kelipatan murni $\pi/2$. Lintasan ujung vektor akan mendeskripsikan sebuah kurva elips miring dengan sudut orientasi sumbu semi-mayor $\psi$ yang dirumuskan melalui kaitan:
Untuk mencari sudut kemiringan sumbu semi-mayor elips ($\psi$) terhadap sumbu $x$, kita melakukan rotasi sumbu koordinat kartesian sejauh sudut $\psi$ menuju sistem koordinat baru $(E_\xi, E_\eta)$ agar suku perkalian silang koordinat $E_\xi E_\eta$ hilang dari persamaan. Hubungan transformasi koordinat rotasi adalah:
Substitusikan aturan transformasi rotasi ini ke dalam persamaan elips umum kita. Agar suku silang perkalian $E_\xi E_\eta$ lenyap, total koefisien pengali dari interaksi $E_\xi E_\eta$ tersebut diatur bernilai nol secara eksak:
Bagi seluruh baris dengan $\cos(2\psi)$ dan isolasikan bentuk fungsi tangen ganda $\tan(2\psi)$, kita mendapatkan rumus sudut kemiringan orientasi elips polarisasi miring:
Manipulasi secara langsung amplitudo $E_{0x}$, $E_{0y}$, dan beda fase $\delta = \varphi_y - \varphi_x$ untuk mengamati perubahan bentuk lintasan polarisasi secara real-time. Panel atas menampilkan proyeksi 3D gelombang merambat sepanjang sumbu $z$, sementara panel bawah memvisualisasikan jejak vektor $\mathbf{E}$ pada bidang transversal $xy$ — persis seperti diagram statis di atas, namun kini dinamis dan dapat dikendalikan.
Suatu gelombang elektromagnetik bidang monokromatik merambat di ruang hampa sepanjang sumbu $+z$. Komponen-komponen medan listriknya dinyatakan sebagai berikut:
Tentukan parameter amplitudo komponen, beda fase relatif, jenis keadaan polarisasi gelombang, serta sudut kemiringan ($\psi$) dari orientasi sumbu utamanya.
Langkah-Langkah Penyelesaian:
(a) Identifikasi Parameter Amplitudo dan Fase Dasar: Berdasarkan persamaan gelombang parametrik yang diberikan, komponen amplitudo puncak adalah $E_{0x} = 3\text{ V/m}$ dan $E_{0y} = 4\text{ V/m}$. Fase awal untuk masing-masing komponen adalah $\delta_x = 0$ dan $\delta_y = \frac{\pi}{3}$ rad ($60^\circ$). Beda fase relatif ($\delta$) antara kedua komponen dihitung sebagai berikut:
(b) Penentuan Jenis Polarisasi: Mari lakukan pengujian parameter untuk menyimpulkan jenis lintasan ujung vektor medan listrik:
Karena tidak memenuhi syarat khusus linear maupun sirkular, gelombang ini memiliki Polarisasi Elips. Karena nilai beda fase berada pada rentang $0 < \delta < \pi$, komponen $E_y$ mendahului $E_x$. Menggunakan konvensi optik (melihat ke arah datangnya gelombang), arah putaran ujung vektor $\mathbf{E}$ adalah searah jarum jam (Right-Handed / Right-Elliptical).
(c) Perhitungan Sudut Orientasi Kemiringan ($\psi$): Sudut arah sumbu semi-mayor elips dihitung menggunakan rumus transformasi rotasi sumbu koordinat yang telah diturunkan:
Substitusikan nilai magnitudo amplitudo dan nilai nilai kosinus sudut fase $\cos(60^\circ) = 0{,}5$:
Hitung nilai sudut ganda melalui fungsi inversi tangen:
Untuk mendapatkan orientasi fisis sumbu utama bernilai positif terhadap sumbu-$x$, kita tambahkan periodisitas spasial sudut tangen sebesar $180^\circ$:
Sumbu panjang (semi-mayor) dari elips polarisasi miring ini membentuk sudut kemiringan konstan sebesar $60{,}13^\circ$ diukur dari sumbu positif $x$.
Meskipun representasi parametrik trigonometri sangat berguna untuk memahami lintasan geometris, analisis interaksi gelombang dengan elemen optik berlapis menjadi sangat rumit jika menggunakan fungsi sinus atau kosinus secara langsung. Untuk menyederhanakan perhitungan algebraic, keadaan polarisasi dari gelombang bidang monokromatik terpolarisasi murni dapat direpresentasikan secara ringkas menggunakan ruang vektor kompleks berdimensi dua yang dikenal sebagai vektor Jones.
Kita mulai dari bentuk kompleks medan listrik bidang transversal yang merambat sepanjang sumbu $z$:
Karena faktor eksponensial ruang-waktu $e^{i(kz - \omega t)}$ dialami secara seragam oleh kedua komponen sumbu, kita dapat mengabaikan faktor propagasi tersebut untuk mengisolasi informasi fase-amplitudo internalnya ke dalam bentuk vektor kolom kompleks $\mathbf{J}$:
Secara umum, kita dapat mengeluarkan faktor fase absolut sumbu-$x$ ($e^{i\delta_x}$) untuk menyederhanakan penulisan, meninggalkan komponen baris bawah hanya terikat pada beda fase relatif $\delta = \delta_y - \delta_x$:
Dalam aplikasi kalkulus Jones, vektor Jones biasanya dinormalisasi agar merepresentasikan intensitas gelombang total satuan ($\mathbf{J}^\dagger \mathbf{J} = 1$), di mana $\mathbf{J}^\dagger = (\mathbf{J}^*)^T$ melambangkan transpose konjugat kompleks (Hermitian). Faktor pengali normalisasi $A$ dihitung melalui:
Dua keadaan polarisasi dikatakan saling ortogonal jika perkalian dalam kompleksnya bernilai nol ($\mathbf{J}_1^\dagger \mathbf{J}_2 = 0$). Contoh klasiknya adalah pasangan polarisasi Linear Horizontal dengan Vertikal, serta Sirkular Kanan dengan Sirkular Kiri. Berikut adalah tabel komparatif vektor Jones ternormalisasi untuk berbagai keadaan polarisasi utama (menggunakan konvensi optik):
Ketika gelombang cahaya melewati elemen optik tertentu (seperti polarisator, keping gelombang retarder, atau rotator fase), keadaan polarisasinya akan mengalami transformasi linear. Secara matematis, elemen optik ini direpresentasikan oleh sebuah operator linier berupa matriks Jones berukuran $2\times2$. Interaksi fisik ini dihitung melalui perkalian matriks standar:
Jika cahaya melewati rangkaian beberapa elemen optik berturut-turut ($\mathbf{M}_1$ diikuti oleh $\mathbf{M}_2$, lalu $\mathbf{M}_3$), matriks total sistem dihitung dengan mengalikan operator dari kanan ke kiri sesuai urutan interaksi fisik: $\mathbf{M}_{\text{total}} = \mathbf{M}_3 \cdot \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{M}_1$.
Berikut adalah daftar matriks Jones untuk komponen optik standard yang umum digunakan dalam analisis instrumen optika:
Kasus: Sebuah berkas cahaya terpolarisasi linear horizontal ($\mathbf{J}_{\text{in}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$) dilewatkan pada dua buah komponen optik berturut-turut. Komponen pertama adalah sebuah polarisator linear miring dengan sumbu transmisi sebesar $\theta = 45^\circ$. Komponen kedua adalah sebuah keping seperempat gelombang (QWP) dengan sumbu cepat horizontal. Hitunglah vektor Jones output akhir $\mathbf{J}_{\text{out}}$ dan tentukan jenis polarisasinya.
Langkah Penyelesaian:
1. Tentukan matriks Jones untuk komponen pertama, yaitu polarisator linear $\mathbf{M}_{\text{pol}}$ pada sudut $\theta = 45^\circ$. Karena $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
2. Hitung vektor keadaan antara ($\mathbf{J}_1$) setelah cahaya melewati polarisator miring tersebut:
Catatan: Sesuai teori fisik, intensitas ampitudo berkurang setengahnya, dan cahayanya kini berubah menjadi terpolarisasi linear diagonal $+45^\circ$ (belum dinormalisasi ulang).
3. Kalikan vektor keadaan intermediate $\mathbf{J}_1$ dengan matriks keping seperempat gelombang ($\mathbf{M}_{\text{qwp}}$) untuk mencari hasil akhir sistem:
4. Normalisasikan vektor tersebut untuk mengisolasi bentuk representasi basis standardnya:
Kesimpulan Analisis: Berdasarkan pencocokan dengan tabel karakteristik basis Jones, hasil $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$ secara mutlak membuktikan bahwa gelombang keluaran akhir telah dikonversi penuh menjadi Polarisasi Sirkular Kanan (RCP, Right-Circular Polarization).
Ketika gelombang bidang mengenai antarmuka planar antara dua medium dielektrik, sebagian energi dipantulkan dan sebagian ditransmisikan. Koefisien Fresnel menghubungkan amplitudo gelombang pantulan dan transmisi terhadap gelombang datang.
Pertimbangkan antarmuka planar $z = 0$ antara medium $n_1$ (atas, $z < 0$) dan medium $n_2$ (bawah, $z > 0$). Gelombang datang dari medium 1 dengan sudut $\theta_i$ terhadap normal. Dua komponen polarisasi:
Koefisien refleksi ($r$) dan koefisien transmisi ($t$) didefinisikan sebagai rasio perbandingan antara amplitudo medan listrik gelombang keluaran (baik pantulan maupun transmisi) terhadap amplitudo medan listrik datang pada bidang antarmuka:
Karena medan listrik dapat mengalami pergeseran fase saat berinteraksi dengan medium baru, nilai $r$ dan $t$ dapat bernilai positif, negatif, atau bahkan berupa bilangan kompleks pada kasus pemantulan internal total (TIR).
Untuk menurunkan koefisien refleksi ($r$) dan transmisi ($t$), kita menerapkan syarat batas kontinuitas persamaan Maxwell pada bidang antarmuka planar ($z = 0$). Syarat batas fundamental yang berlaku adalah kontinuitas komponen tangensial (sejajar antarmuka) dari medan listrik dan medan magnet:
Di mana $\mathbf{H} = \frac{1}{\mu}\mathbf{B}$. Pada frekuensi optik, kita asumsikan medium bersifat non-magnetik ($\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$), sehingga hubungan magnitudo medan adalah $H = \frac{n}{\mu_0 c}E$. Kita tinjau pembuktian untuk masing-masing mode berdasarkan geometri pada Gambar 3.3a dan 3.3b:
Berdasarkan Gambar 3.2a, seluruh vektor medan listrik $\mathbf{E}$ berorientasi sejajar dengan bidang antarmuka (tangensial murni). Komponen medan magnet $\mathbf{H}$ miring, sehingga komponen tangensialnya diperoleh dengan memproyeksikannya sepanjang permukaan antarmuka (dikalikan dengan $\cos\theta$).
A. Kontinuitas Medan Listrik Tangensial ($E_x$):
B. Kontinuitas Medan Magnet Tangensial ($H_y$): Memperhatikan arah proyeksi vektor $\mathbf{B}$ pada Gambar 3.2a, komponen tangensial $H_i$ mengarah ke kanan ($+x$), sedangkan $H_r$ berbalik arah ke kiri ($-x$) akibat pembalikan arah rambat sinar pantul:
Substitusikan hubungan $H = \frac{n}{\mu_0 c}E$ dan hukum pemantulan ($\theta_r = \theta_i$):
Bagi seluruh baris dengan konstanta $\frac{1}{\mu_0 c}$ dan bagi dengan amplitudo datang $E_i$ untuk mendapatkan bentuk rasio:
C. Solusi Aljabar untuk $r_s$ dan $t_s$: Substitusikan Persamaan 1 ($t_s = 1 + r_s$) ke dalam Persamaan 2:
Untuk mencari $t_s$, substitusikan balik nilai $r_s$ ke Persamaan 1 ($t_s = 1 + r_s$):
Berdasarkan Gambar 3.2b, seluruh komponen medan magnet $\mathbf{H}$ berada dalam posisi tangensial murni (masuk/keluar bidang). Sebaliknya, medan listrik $\mathbf{E}$ miring terhadap antarmuka, sehingga komponen tangensialnya diperoleh melalui proyeksi kosinus sumbu.
A. Kontinuitas Medan Magnet Tangensial ($H_y$):
Bagi kedua ruas dengan $\frac{n_1}{\mu_0 c}$ untuk mereduksi persamaan ke variabel amplitudo medan listrik:
B. Kontinuitas Medan Listrik Tangensial ($E_x$): Sesuai orientasi tanda panah komponen $\mathbf{E}$ pada Gambar 3.2b, proyeksi tangensial searah antarmuka untuk $E_i$ dan $E_r$ berlawanan arah karena pembalikan arah pantul berkas:
C. Solusi Aljabar untuk $r_p$ dan $t_p$: Dari Persamaan 3, kita tahu $t_p = \frac{n_1}{n_2}(1 + r_p)$. Substitusikan nilai ini ke dalam Persamaan 4:
Kalikan kedua ruas dengan $n_2\cos\theta_i$ untuk mengeliminasi penyebut pecahan:
Terakhir, substitusikan nilai $r_p$ di atas kembali ke Persamaan 3 untuk menentukan koefisien transmisi $t_p$:
Koefisien amplitudo Fresnel ($r$ dan $t$) mengukur perbandingan kekuatan magnitudo medan listrik murni. Namun, dalam eksperimen optik, besaran fisis yang terukur secara eksperimental adalah fluks energi per satuan luas per satuan waktu, yang dikenal sebagai Irradiance ($I$) atau intensitas gelombang. Irradiance rata-rata waktu dari gelombang bidang elektromagnetik di dalam medium dengan indeks bias $n$ dirumuskan oleh magnitudo Vektor Poynting rata-rata:
Oleh karena itu, koefisien intensitas daya diperoleh dari kuadrat koefisien amplitudo, dengan menyertakan faktor koreksi tambahan untuk nilai transmitansi akibat adanya perubahan impedansi medium serta perubahan geometris luas penampang berkas cahaya pada antarmuka.
Reflektansi ($R$) didefinisikan sebagai rasio total daya ($P$) atau energi per satuan waktu yang dipantulkan dari antarmuka terhadap daya datang:
Karena hukum pemantulan menjamin sudut pantul sama dengan sudut datang ($\theta_r = \theta_i$), berkas cahaya tidak mengalami perubahan luas penampang setelah memantul ($A_r = A_i$). Konsekuensinya, rasio daya tereduksi menjadi rasio Irradiance murni di dalam medium yang sama ($n_1$):
Kaitan ini berlaku universal untuk masing-masing komponen polarisasi linear:
Transmitansi ($T$) didefinisikan sebagai rasio total daya yang ditransmisikan ke medium kedua terhadap daya datang:
Ketika berkas cahaya berpindah medium dan mengalami pembiasan ($\theta_t \neq \theta_i$), arah rambatnya berbelok. Seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.4 di bawah, hubungan antara luas penampang datang ($A_i$) dan luas penampang transmisi ($A_t$) yang berpotongan pada area antarmuka fisik yang sama ($A_{\text{interface}}$) mengikuti aturan trigonometri:
Dengan menggabungkan faktor rasio indeks bias medium $\frac{n_2}{n_1}$ (efek perubahan impedansi) dan faktor rasio geometri penampang $\frac{\cos\theta_t}{\cos\theta_i}$, kita memperoleh rumusan lengkap transmitansi daya:
Berdasarkan hukum kekekalan energi, total daya elektromagnetik yang dibawa oleh berkas cahaya datang pada antarmuka yang ideal (tanpa adanya rugi-rugi absorpsi atau hamburan) harus sama dengan jumlah total daya yang dipantulkan dan ditransmisikan:
Jika kita membagi seluruh suku persamaan di atas dengan daya datang ($P_{\text{datang}}$), maka kita mendapatkan hubungan universal reflektansi dan transmitansi daya:
Hubungan $R + T = 1$ ini harus terpenuhi secara konsisten untuk masing-masing komponen polarisasi linear secara independen, yaitu $R_s + T_s = 1$ dan $R_p + T_p = 1$. Berikut adalah pembuktian matematis (*derivation*) lengkapnya menggunakan koefisien amplitudo Fresnel dan syarat batas medan elektromagnetik.
Syarat batas kontinuitas medan listrik tangensial untuk polarisasi-S pada antarmuka melahirkan hubungan amplitudo:
Sedangkan koefisien amplitudo refleksi Fresnel ($r_s$) didefinisikan sebagai:
Untuk membuktikan kekekalan energi, kita mulai dari penjumlahan nilai $1 - R_s$ dan menguraikannya menggunakan definisi amplitudo:
Substitusikan nilai $(1 + r_s) = t_s$ ke dalam persamaan di atas:
Selanjutnya, kita hitung nilai dari ekspresi $(1 - r_s)$ menggunakan definisi matriks koefisien Fresnel:
Perhatikan bahwa koefisien amplitudo transmisi Fresnel ($t_s$) adalah:
Jika kita kalikan nilai $(1 - r_s)$ dengan $t_s$, maka kita peroleh:
Untuk memunculkan variabel $t_s^2$ ($|t_s|^2$), kita kalikan dan bagi persamaan dengan suku $2 n_1 \cos\theta_i$:
Karena sisi kanan persamaan di atas identik dengan definisi koefisien transmitansi daya $T_s$, maka terbukti secara analitis bahwa:
Dengan cara yang sama, dapat juga dibuktikan bahwa (soal latihan 7):
Gambar 3.4 — Representasi perspektif 3D perubahan penampang berkas cahaya pada antarmuka planar (n₂ > n₁). Berkas datang (Ai, hijau) terbagi menjadi berkas pantul (Ar, oranye) dan berkas transmisi (At, ungu). Karena θr = θi, penampang pantul tidak berubah (Ar = Ai), sedangkan berkas transmisi melebar akibat pembiasan (θt < θi), sehingga At = Ai · cos θt/ cos θi.
Berkas cahaya monokromatik datang dari udara ($n_1 = 1{,}00$) menuju permukaan kaca plan-paralel ($n_2 = 1{,}50$) dengan sudut datang $\theta_i = 30^\circ$. Hitunglah:
(a) Penentuan Sudut Transmisi ($\theta_t$) via Hukum Snellius: Berdasarkan Hukum Snellius untuk pembiasan gelombang bidang, kita hitung nilai sinus sudut transmisi:
Gunakan fungsi invers sinus untuk memperoleh nilai sudut bias $\theta_t$ beserta nilai kosinusnya:
(b) Perhitungan Koefisien Fresnel Komponen $s$ (TE): Substitusikan parameter indeks bias dan nilai kosinus ke dalam rumus syarat batas TE:
Nilai negatif menandakan terjadinya pembalikan fase sebesar $\pi$ ($180^\circ$) pada komponen medan listrik pantul $s$. Selesaikan nilai koefisien transmisi $t_s$:
Verifikasi hubungan kontinuitas amplitudo: $1 + r_s = 1 + (-0{,}2404) = 0{,}7596 = t_s \quad \checkmark$
(c) Perhitungan Koefisien Fresnel Komponen $p$ (TM): Substitusikan nilai konstanta ke dalam skema penyelesaian matriks syarat batas komponen TM:
Selesaikan nilai koefisien transmisi komponen $p$ ($t_p$):
(d) Verifikasi Hukum Kekekalan Energi Berkas: Reflektansi ($R$) menyatakan rasio intensitas daya pantul, sedangkan Transmitansi ($T$) menyatakan intensitas rasio transmisi fluks energi normal melewati bidang batasan ruang:
Evaluasi total jumlahan rapat daya normal permukaan:
Jumlahan fluks energi bernilai satu mutlak, membuktikan bahwa penurunan formulasi koefisien Fresnel dari syarat batas ini konsisten secara termodinamika fisis.
Ketika cahaya merambat dari medium lebih rapat ($n_1$) ke kurang rapat ($n_2 < n_1$), sudut transmisi $\theta_t$ lebih besar dari sudut insidens $\theta_i$. Pada sudut kritis $\theta_c$, $\theta_t = 90°$ dan untuk $\theta_i > \theta_c$, tidak ada gelombang yang ditransmisikan — seluruh energi dipantulkan.
TIR hanya terjadi ketika $n_1 > n_2$ (cahaya dari medium lebih rapat ke kurang rapat). Untuk antarmuka kaca–udara ($n_1 = 1{,}5$, $n_2 = 1$): $\theta_c = \arcsin(1/1{,}5) \approx 41{,}8°$.
Pada TIR, sudut transmisi menjadi imajiner karena $\sin\theta_t = (n_1/n_2)\sin\theta_i > 1$. Kita dapat menyatakan $\cos\theta_t$ sebagai bilangan kompleks murni:
Untuk mempermudah penurunan, kita substitusikan $\cos\theta_t$ kompleks ini ke dalam Persamaan Refleksi Fresnel. Karena amplitudo koefisien refleksi bernilai $|r| = 1$ (refleksi sempurna), koefisien dapat ditulis dalam bentuk fasa eksponensial $r = e^{i\phi}$.
Koefisien refleksi Fresnel untuk polarisasi $s$ adalah:
Substitusikan nilai $\cos\theta_t$ kompleks ke dalam persamaan di atas:
Persamaan ini memiliki bentuk bilangan kompleks $\frac{z^*}{z} = \frac{a - ib}{a + ib}$. Argumen (fasa) dari bilangan kompleks berbebtuk $\frac{a-ib}{a+ib}$ adalah $-2\arctan(b/a)$. Berdasarkan konvensi fasa $r_s = e^{-i\phi_s}$ (atau menggunakan bentuk setengah sudut $\tan\frac{\phi}{2} = \frac{b}{a}$), maka diperoleh:
Koefisien refleksi Fresnel untuk polarisasi $p$ adalah:
Substitusikan nilai $\cos\theta_t$ kompleks ke dalam persamaan tersebut:
Keluarkan faktor $n_1$ pada penyebut dan pembilang untuk menyederhanakan rasio indeks bias menjadi bentuk $(n_2/n_1)$:
Gunakan kembali aturan fasa setengah sudut $\tan\frac{\phi_p}{2} = \frac{b}{a}$ di mana $a = (n_2/n_1)\cos\theta_i$ dan $b = (n_1/n_2)\sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}$:
Selisih fase $\Delta\phi = \phi_p - \phi_s \neq 0$ (kecuali pada $\theta_i = \theta_c$ dan $\theta_i = 90°$). Ini berarti TIR mengubah keadaan polarisasi — prinsip yang digunakan pada prisma Fresnel untuk menghasilkan polarisasi sirkular.
Soal: Sebuah prisma kaca dengan indeks bias $n_1 = 1,5$ ditempatkan di udara ($n_2 = 1,0$). Prisma ini dirancang agar berkas cahaya mengalami fenomena Total Internal Reflection (TIR) sebanyak dua kali dengan sudut datang internal $\theta_i = 54,6^\circ$ (di mana sudut ini lebih besar dari sudut kritis $\theta_c = 41,8^\circ$). Hitunglah selisih fasa ($\Delta\phi$) yang dihasilkan per satu kali refleksi, serta akumulasi fasa total setelah melewati prisma.
Pertama, kita cari nilai dari suku akar kuadrat $\sqrt{\sin^2\theta_i - (n_2/n_1)^2}$ dan nilai $\cos\theta_i$:
Gunakan rumus setengah sudut untuk polarisasi $s$ (TE):
Gunakan hubungan perbandingan indeks bias untuk polarisasi $p$ (TM):
Selisih fasa ($\Delta\phi$) yang dihasilkan oleh satu kali pemantulan internal sempurna adalah:
Karena berkas cahaya mengalami dua kali refleksi TIR berturut-turut di dalam geometri jajaran genjang prisma, maka total selisih fasa akumulatifnya adalah:
Gambar 3.5: Analisis fasa lintasan sinar presisi. Berkas cahaya datang masuk tegak lurus antarmuka miring ($\theta_t = 0^\circ$), memantul sempurna pada batas horizontal bawah dan atas dengan sudut datang internal $\theta_i = 54,6^\circ$, lalu keluar normal secara lurus.
Kesimpulan: Nilai selisih fasa akumulatif sebesar $89^\circ$ sudah sangat dekat dengan parameter ideal fase kuadratur $90^\circ$ ($\pi/2$). Konfigurasi geometri ini terbukti efektif dalam mentransformasikan komponen cahaya berpolarisasi linear $45^\circ$ menjadi gelombang pantul yang berpolarisasi hampir sirkular sempurna.
Ketika foton dipancarkan secara spontan di dalam sebuah material padat (seperti kaca atau semikonduktor), proses emisi bersifat isotropik — foton terpancar ke segala arah dengan probabilitas yang sama. Karena indeks bias material padat ($n_1$) jauh lebih besar daripada udara ($n_2$), sudut kritis TIR ($\theta_c$) yang dihasilkan sangat kecil. Foton yang mengenai permukaan dengan sudut datang lebih besar dari $\theta_c$ tidak akan keluar; ia akan mengalami TIR dan terperangkap di dalam material.
Akibatnya, hanya foton yang terpancar dalam sebuah kerucut sempit yang berporos di garis normal permukaan (disebut kerucut lolos atau escape cone) yang dapat memancar keluar ke udara bebas.
Langkah 1: Integrasi Sudut Ruang Kerucut Lolos. Misalkan sebuah titik emisi memancarkan cahaya secara isotropik ke segala arah. Untuk menghitung porsi cahaya yang berada di dalam kerucut lolos, kita harus mengintegrasikan elemen diferensial sudut ruang dalam koordinat bola, \(d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\phi\), dari batas sudut azimuth \(\phi = 0\) hingga \(2\pi\), dan sudut polar \(\theta = 0\) hingga batas sudut kritis \(\theta_c\):
Langkah 2: Rasio Fraksi Geometris. Fraksi cahaya yang secara geometris berpeluang menyerang permukaan datar dalam batas sudut kritis terhadap total pancaran belahan bola (hemisphere atas dengan \(\Omega = 2\pi\)) adalah:
Langkah 3: Substitusi Trigonometri. Kita dapat menyatakan \(\cos\theta_c\) dalam bentuk rasio indeks bias menggunakan identitas Pythagoras \(\cos\theta_c = \sqrt{1 - \sin^2\theta_c}\):
Substitusikan bentuk ini ke dalam persamaan rasio fraksi untuk mendapatkan rumus umum fraksi cahaya yang lolos dari satu permukaan datar:
Catatan: Persamaan di atas merupakan batas atas geometris. Pada kenyataannya, foton yang menyerang permukaan dari dalam kerucut lolos ini masih bisa dipantulkan kembali secara parsial oleh koefisien Fresnel pada sudut-sudut yang mendekati \(\theta_c\). Oleh karena itu, fraksi cahaya nyata yang benar-benar keluar sedikit lebih kecil dari nilai \(F_{\text{lolos}}\) ini.
Bandingkan fraksi cahaya yang berhasil lolos secara geometris ke udara ($n_2 = 1,0$) dari dua material padat yang berbeda melalui satu permukaan datar polos:
Hitung sudut kritis dan fraksi lolosnya:
Artinya, meskipun kaca terlihat transparan, jika cahaya dipancarkan dari di dalam kaca, hanya sekitar 12,7% cahaya yang menemukan jalannya keluar melalui satu sisi permukaan datar. Sisanya (~87,3%) terperangkap dan memantul bolak-balik di dalam kaca.
Hitung sudut kritis dan fraksi lolosnya dengan cara yang sama:
Kesimpulan Kritis: Pada semikonduktor dengan indeks bias tinggi ($n \approx 3{,}5$), lebih dari 97% cahaya yang dihasilkan di dalam material langsung terperangkap oleh TIR pada antarmuka polos. Fenomena inilah yang menjadi tantangan rekayasa terbesar dalam desain LED (sebagaimana akan dibahas pada Bab 5 mengenai Wall-Plug Efficiency), yang memaksa insinyur untuk menciptakan permukaan tekstur, chip berbentuk kubah, atau lapisan epoksi pembantu untuk "menipu" cahaya agar keluar dari sudut yang lebih besar daripada sudut kritis geometris.
Pada sudut insidens tertentu yang disebut sudut Brewster $\theta_B$, koefisien $r_p = 0$ — komponen $p$ tidak dipantulkan sama sekali:
Pada sudut Brewster, sinar pantulan dan sinar transmisi saling tegak lurus ($\theta_B + \theta_t = 90°$). Ini dapat dibuktikan: jika $\theta_t = 90° - \theta_B$, maka dari Snellius $n_1\sin\theta_B = n_2\sin(90° - \theta_B) = n_2\cos\theta_B$, sehingga $\tan\theta_B = n_2/n_1$.
Substitusikan $\theta_t = 90° - \theta_i$ ke dalam $r_p$:
Pembilang nol ketika $n_2\cos\theta_i = n_1\sin\theta_i$, yaitu $\tan\theta_i = n_2/n_1 = \tan\theta_B$. Pada sudut ini, dipol-dipol di medium 2 yang bergetar akibat gelombang transmisi bergetar sejajar arah pantulan — dan dipol tidak memancarkan radiasi sepanjang sumbu getarnya.
Pada $\theta_B$, cahaya pantulan sepenuhnya terpolarisasi linear dalam arah $s$ (tegak lurus bidang insidens). Untuk cahaya tidak terpolarisasi yang datang pada $\theta_B$, $R_p = 0$ dan $R_s > 0$, sehingga cahaya pantulan murni $s$.
Berkas cahaya tidak terpolarisasi merambat di udara ($n_1 = 1{,}00$) dan menumbuk permukaan kaca ($n_2 = 1{,}52$). Hitunglah:
(a) Perhitungan Sudut Brewster ($\theta_B$) dan Sudut Bias ($\theta_t$): Sesuai dengan Teorema Sudut Brewster, sudut datang spesifik dihitung melalui fungsi invers tangen:
Berdasarkan sifat fisis geometri ortogonal antarmuka pada kondisi Brewster, jumlahan sudut datang dan sudut bias harus membentuk sudut siku-siku murni ($90^\circ$):
Mari kita uji presisi nilai ini menggunakan Hukum Snellius:
(b) Perhitungan Koefisien Fresnel dan Reflektansi Daya ($R$): Kalkulasikan nilai kosinus dari kedua sudut fisis di atas:
Evaluasi koefisien refleksi komponen transversal magnetik ($r_p$):
Terbukti secara matematis eksak bahwa komponen daya $p$ hilang sepenuhnya dari fraksi pantulan. Selanjutnya, evaluasi komponen transversal elektrik ($r_s$):
Hitung nilai reflektansi intensitas total untuk komponen gaya $s$:
(c) Penentuan Derajat Polarisasi Berkas Pantul: Cahaya datang awalnya tidak terpolarisasi, bermakna daya komponen awal terbagi rata ($I_{i,s} = I_{i,p} = I_0$). Daya intensitas berkas setelah mengalami pemantulan menjadi:
Derajat polarisasi atau Degree of Polarization ($DOF$) didefinisikan sebagai:
Karena nilai $DOF = 1$ mutlak, berkas cahaya yang berhasil memantul dari permukaan kaca terverifikasi sepenuhnya terpolarisasi linear (100%) murni searah komponen transversal $s$.
Pada TIR, sinar pantulan tidak keluar tepat dari titik insidens, melainkan mengalami pergeseran sepanjang antarmuka. Fenomena ini ditemukan oleh Fritz Goos dan Hilda Hänchen (1947) dan dijelaskan oleh Artmann (1948).
Besar pergeseran untuk komponen $s$:
di mana $\lambda_1 = \lambda_0/n_1$ adalah panjang gelombang di medium 1. Untuk komponen $p$, pergeseran serupa tetapi dengan faktor koreksi:
Karakteristik penting pergeseran Goos-Hänchen:
Walaupun tidak ada energi yang merambat menjauhi antarmuka pada TIR, medan tidak langsung nol di sisi medium 2. Sebaliknya, terdapat medan evanescent yang meluruh eksponensial:
Kedalaman penetrasi (penetration depth), didefinisikan sebagai jarak di mana medan turun menjadi $1/e$ dari nilai di antarmuka:
Pada sudut jauh di atas kritis, $d_p$ sekitar setengah panjang gelombang. Medan evanescent ini bukan gelombang merambat — ia tidak membawa energi menjauhi antarmuka. Namun, jika medium ketiga ditempatkan sangat dekat (dalam jarak $d_p$), energi dapat ditransfer — ini adalah prinsip coupled waveguide dan frustrated total internal reflection (FTIR).
Sebuah berkas laser merah dengan panjang gelombang di ruang hampa $\lambda_0 = 600\text{ nm}$ merambat di dalam medium kaca ($n_1 = 1{,}50$) menuju antarmuka kaca-udara ($n_2 = 1{,}00$). Berkas tersebut datang dengan sudut insidens $\theta_i = 45^\circ$. Hitunglah:
(a) Verifikasi Batas Sudut Kritis ($\theta_c$): Fenomena TIR dan pergeseran Goos-Hänchen hanya terjadi jika sudut datang melebihi sudut kritis. Nilai sudut kritis dihitung melalui:
Karena sudut datang $\theta_i = 45^\circ$ lebih besar daripada $\theta_c = 41{,}81^\circ$, maka pemantulan internal total (TIR) terverifikasi terjadi secara sempurna.
(b) Perhitungan Pergeseran Goos-Hänchen Komponen $s$ ($D_s$): Pertama, tentukan panjang gelombang cahaya di dalam medium pertama (kaca), $\lambda_1$:
Selanjutnya, hitung nilai fungsi trigonometri penyusun komponen akar penyebut:
Substitusikan nilai-nilai di atas ke dalam Formulasi Artmann untuk pergeseran komponen $s$:
Jadi, berkas cahaya pantul akan bergeser secara lateral sejauh $\approx 381{,}97\text{ nm}$ di sepanjang permukaan batas sebelum memantul kembali ke dalam kaca.
(c) Perhitungan Kedalaman Penetrasi Medan Evanescent ($d_p$): Medan evanescent meluruh secara eksponensial di dalam medium 2 (udara). Jarak karakteristik pelemahan medan sebesar $1/e$ dihitung lewat rumus kedalaman penetrasi:
Gunakan komponen akar kuadrat $\sqrt{0{,}0556} \approx 0{,}2357$ yang telah diperoleh dari perhitungan sebelumnya:
Medan evanescent ini menembus ke dalam medium udara sejauh $270{,}09\text{ nm}$ sebelum amplitudo medannya menyusut menjadi sekitar $36{,}8\%$ ($1/e$) dari nilai awalnya tepat di bidang antarmuka.
Lapisan antirefleksi (AR coating) dirancang untuk meminimumkan refleksi pada permukaan optik melalui interferensi destruktif antara gelombang yang dipantulkan dari antarmuka atas dan bawah lapisan tipis.
Untuk menghilangkan refleksi cahaya pada satu panjang gelombang tunggal $\lambda_0$ dengan sudut datang tegak lurus (insidens normal), kita menumbuhkan sebuah lapisan tipis di atas substrat. Mari definisikan tiga medium sistem:
Kita asumsikan konfigurasi indeks bias linier meningkat, yaitu $n_0 < n_{\text{AR}} < n_s$. Berkas cahaya yang datang akan mengalami pemantulan di dua batas antarmuka: pantulan pertama ($r_1$) di batas udara-lapisan AR, dan pantulan kedua ($r_2$) di batas lapisan AR-substrat.
Berdasarkan persamaan refleksi Fresnel pada insidens normal, koefisien refleksi amplitudo untuk masing-masing batas antarmuka adalah:
Karena $n_0 < n_{\text{AR}} < n_s$, kedua nilai $r_1$ dan $r_2$ bernilai negatif. Artinya, kedua gelombang pantul sama-sama mengalami lompatan fasa sebesar $\pi$ (setengah gelombang) akibat memantul pada medium yang lebih rapat. Karena kedua gelombang mengalami pergeseran fasa refleksi yang sama, selisih fasa relatif di antara keduanya murni hanya ditentukan oleh jarak tempuh (fase propagasi) di dalam lapisan AR.
Berkas kedua ($r_2$) menembus lapisan tipis, memantul di dasar, dan kembali ke atas, sehingga menempuh lintasan bolak-balik sejauh $2d$. Beda lintasan optik (Optical Path Difference) di dalam medium dengan indeks bias $n_{\text{AR}}$ adalah:
Beda fasa propagasi ($\delta$) yang dihasilkan oleh beda lintasan optik ini relatif terhadap panjang gelombang di udara ($\lambda_0$) adalah:
Agar kedua berkas saling melemahkan secara total (interferensi destruktif sempurna), kedua gelombang harus saling berlawanan fasa sebesar kelipatan ganjil dari $\pi$. Untuk lapisan tertipis yang paling fungsional, kita tetapkan $\delta = \pi$:
Inilah asal-usul istilah kuarter gelombang (seperempat gelombang), karena ketebalan fisik lapisan harus setara dengan seperempat dari panjang gelombang cahaya di dalam medium tersebut.
Interferensi destruktif dari beda fase $\pi$ tidak akan menghasilkan refleksi nol jika amplitudo kedua gelombang pantul tidak sama besar. Oleh karena itu, syarat kedua adalah menyamakan nilai mutlak amplitudo pantulannya, yaitu $|r_1| = |r_2|$:
Karena kita tahu $n_0 < n_{\text{AR}} < n_s$, kita hilangkan tanda mutlak dengan membalik arah pengurangan agar hasilnya positif:
Lakukan perkalian silang secara aljabar:
Sederhanakan persamaan dengan mencoret suku yang sama di kedua sisi ($n_{\text{AR}}n_s$ dan $-n_0 n_{\text{AR}}$):
Kesimpulan: Jika medium asal adalah udara ($n_0 = 1$), indeks bias ideal lapisan antirefleksi dituntut bernilai tepat sebesar akar geometri dari indeks bias kaca substrat ($\boxed{n_{\text{AR}} = \sqrt{n_s}}$). Kombinasi nilai indeks bias rata-rata dan ketebalan kuarter ini menjamin intensitas pantulan cahaya total berinterferensi destruktif hingga bernilai nol.
Sebuah lensa optik berbahan kaca borosilikat korona BK7 memiliki indeks bias $n_s = 1{,}517$ pada panjang gelombang tengah spektrum tampak $\lambda_0 = 550\text{ nm}$ (cahaya hijau-kuning). Untuk meminimalkan rugi pantulan, permukaan lensa dilapisi dengan lapisan tipis destruktif (Anti-Reflection Coating) berindeks bias $n_{\text{AR}}$ menggunakan material Magnesium Fluorida ($\text{MgF}_2, n = 1{,}38$). Jika lensa berada di udara ($n_0 = 1{,}00$), hitunglah:
(a) Perhitungan Indeks Bias AR Teoretis Ideal: Agar interferensi destruktif antara gelombang pantul pertama (antarmuka udara-film) dan kedua (antarmuka film-kaca) menghilangkan pantulan seluruhnya, amplitudo kedua gelombang harus setara murni. Syarat ini terpenuhi jika indeks bias lapisan film merupakan rata-rata geometris dari kedua medium sekitarnya:
Secara praktis, tidak ada material padat alami yang stabil dengan indeks bias serendah $1{,}23$. Oleh karena itu, kita memilih material praktis komersial terdekat, yaitu $\text{MgF}_2$ dengan indeks bias $n_{\text{AR}} = 1{,}38$.
(b) Perhitungan Ketebalan Fisik Lapisan Tipis ($d$): Interferensi destruktif mensyaratkan ketebalan optik lapisan ($n_{\text{AR}} \cdot d$) setara dengan seperempat panjang gelombang cahaya datang ($\lambda_0/4$):
Lapisan film tipis $\text{MgF}_2$ harus dideposisikan di atas substrat kaca dengan ketebalan fisik akurat sebesar $99{,}64\text{ nm}$.
(c) Perhitungan Reflektansi Residual ($R$): Secara fisis, karena indeks bias material nyata ($1{,}38$) sedikit lebih besar daripada nilai ideal ($1{,}23$), magnitudo interferensi destruktif tidak nol sempurna. Reflektansi sisa pada ketebalan seperempat panjang gelombang dirumuskan melalui:
Substitusikan nilai parameter fisis yang berlaku ke dalam persamaan kuadrat rasio tersebut:
(d) Analisis Perbandingan Efisiensi Optik Lensa: Mari kita evaluasi koefisien reflektansi normal awal ($R_{\text{awal}}$) pada permukaan kaca BK7 polos tanpa menggunakan lapisan interferensi film tipis:
Melalui penerapan lapisan tunggal film tipis $\text{MgF}_2$, intensitas daya cahaya yang hilang akibat pantulan berhasil ditekan secara signifikan dari $4{,}22\%$ turun menjadi hanya $1{,}28\%$ per antarmuka permukaan. Desain ini berhasil menyelamatkan sekurang-kurangnya sekitar $70\%$ fraksi energi foton yang semula terbuang sebagai reflektansi parasit.
Untuk antirefleksi broadband (bukan hanya pada satu $\lambda$), digunakan beberapa lapisan dengan tebal dan indeks yang divariasikan. Desain umum:
Pada serat optik, antarmuka kaca–udara di ujung serat menyebabkan reflektansi $\sim 3{,}5\%$ (untuk $n \approx 1{,}46$). Ini menyebabkan kehilangan daya dan back-reflection yang dapat mengganggu laser sumber. AR coating pada ujung serat (biasanya $\text{SiN}_x$ atau $\text{SiO}_2/\text{TiO}_2$ multilayer) mengurangi $R$ di bawah $0{,}1\%$.
Etalon Fabry-Pérot (sering disingkat FP etalon) adalah interferometer standar yang terdiri dari dua pelat pemantul (cermin) planar paralel yang dipisahkan oleh sebuah rongga udara atau material dielektrik dengan ketebalan $d$. Berbeda dengan lapisan antirefleksi yang dirancang untuk menghilangkan refleksi melalui interferensi destruktif, FP etalon sengaja memanfaatkan interferensi multi-berkas (multiple-beam interference) untuk menciptakan pola transmisi yang sangat tajam dan bergantung sensitif pada panjang gelombang.
Pada interferometer dua celah (seperti Young atau Michelson), kita hanya menghitung superposisi dua berkas cahaya. Pada Fabry-Pérot, cahaya mengalami pemantulan internal berulang. Jika daya datang adalah $I_0$, intensitas yang dipantulkan pada setiap tumbukan dengan cermin adalah $R$ (koefisien reflektansi daya), sehingga intensitas yang lolos pada setiap transmisi adalah $T = 1 - R$.
Kita dapat melacak amplitudo medan listrik dari setiap berkas yang keluar. Berkas pertama lolos melewati rongga sekali dengan fase propagasi awal \(\delta/2\). Berkas kedua yang mengalami dua kali pemantulan internal menempuh jarak tambahan bolak-balik sejauh \(2d\cos\theta\) di dalam medium, memicu pergeseran fase gelombang (\(\delta\)) sebesar \(\delta = \frac{4\pi n d \cos\theta}{\lambda}\). Akibatnya, berkas kedua keluar dengan total fase \(3\delta/2\), berkas ketiga lima kali dengan fase \(5\delta/2\), dan seterusnya. Total medan listrik transmisi (\(E_t\)) adalah jumlah deret geometris tak hingga dari gelombang yang semakin melemah:
Jumlah deret ini adalah deret geometri konvergen dengan rasio $Re^{i\delta}$ (di mana $R$ adalah koefisien refleksi daya):
Intensitas transmisi (\(I_t\)) adalah kuadrat dari magnitudo amplitudo medan listrik total (\(I_t \propto |E_t|^2 = E_t \cdot E_t^*\)). Dengan mengalikan persamaan medan dengan konjugat kompleksnya, diperoleh:
Menggunakan identitas Euler \(e^{i\delta} + e^{-i\delta} = 2\cos\delta\) dan identitas trigonometri sudut paruh \(\cos\delta = 1 - 2\sin^2(\delta/2)\), penyebut disederhanakan menjadi:
Substitusikan hubungan \(T = 1 - R\) ke pembilang, sehingga diperoleh Persamaan Distribusi Transmisi Airy untuk interferometer Fabry-Pérot:
Di mana koefisien \(F\) didefinisikan sebagai Koefisien Finesse rongga, yang mengukur ketajaman pita transmisi optik: \(F = \dfrac{4R}{(1 - R)^2}\).
Grafik berikut menunjukkan bagaimana nilai $F$ mempengaruhi ketajaman puncak transmisi:
Sebuah interferometer Fabry-Pérot presisi tinggi memiliki sepasang cermin paralel dengan nilai koefisien reflektansi daya sebesar \(R = 0{,}85\). Berkas laser monokromatik ditembakkan melewati alat tersebut. Pada suatu sudut kemiringan tertentu, berkas mengalami pergeseran fase transmisi bolak-balik sebesar \(\delta = 60^\circ\). Berdasarkan parameter operasional tersebut, tentukan: (a) nilai Koefisien Finesse (\(F\)) dari rongga interferometer tersebut, dan (b) fraksi intensitas cahaya yang berhasil diloloskan keluar (\(I_t/I_0\)) berdasarkan Distribusi Airy.
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Menghitung Koefisien Finesse (\(F\)): Substitusikan parameter reflektansi cermin \(R = 0{,}85\) ke dalam persamaan definisi koefisien finesse: \(F = \dfrac{4R}{(1 - R)^2} = \dfrac{4(0{,}85)}{(1 - 0{,}85)^2}\) \(F = \dfrac{3{,}40}{(0{,}15)^2} = \dfrac{3{,}40}{0{,}0225}\) \(F \approx \mathbf{151{,}11}\) (b) Menghitung Fraksi Intensitas Transmisi (\(I_t/I_0\)): Gunakan rumusan fungsi Airy untuk menghitung pelemahan intensitas pada beda fase \(\delta = 60^\circ\). Perhatikan sudut di dalam sinus menjadi \(\delta/2 = 30^\circ\): \(\frac{I_t}{I_0} = \dfrac{1}{1 + F \sin^2(\delta/2)} = \dfrac{1}{1 + 151{,}11 \cdot \sin^2(30^\circ)}\) Kita tahu bahwa \(\sin(30^\circ) = 0{,}5\), sehingga \(\sin^2(30^\circ) = 0{,}25\): \(\frac{I_t}{I_0} = \dfrac{1}{1 + 151{,}11 \cdot 0{,}25} = \dfrac{1}{1 + 37{,}777}\) \(\frac{I_t}{I_0} = \dfrac{1}{38{,}777} \approx 0{,}0258\) \(\frac{I_t}{I_0} \approx \mathbf{2{,}58\%}\) Analisis Fisika: Meskipun cermin memiliki transparansi bawaan \(T = 1 - 0{,}85 = 15\%\) untuk satu kali ketukan, efek interferensi destruktif multi-berkas akibat pergeseran fase \(\delta = 60^\circ\) menekan hebat laju foton transmisi hingga hanya menyisakan \(2{,}58\%\) yang lolos. Sebaliknya, apabila gelombang disetel pada kondisi resonansi (\(\delta = 0^\circ, 360^\circ\)), nilai \(\sin^2(\delta/2) = 0\) sehingga dioda akan meloloskan cahaya \(100\%\) penuh (\(I_t = I_0\)). Sensitivitas tajam inilah yang membuat Fabry-Pérot sangat diandalkan sebagai filter optik sempit laser.
Prinsip Fabry-Pérot adalah fondasi bagi hampir seluruh instrumen spektroskopi resolusi tinggi modern. Dengan memindai panjang gelombang ($\lambda$) dan mengukur pola transmisi, kurva Airy yang tajam memungkinkan identifikasi garis emisi atom atau molekul dengan presisi sub-picometer. Lebih jauh lagi, jika celah rongga FP diisi dengan medium aktif penguat (seperti gas He-Ne atau kristal LiNbO$_3$ yang dipompa secara optik/listrik), interferensi multi-berkas menjadi osilasi laser. Dalam konteks ini, etalon Fabry-Perot berubah fungsi dari filter yang menganalisis cahaya menjadi rongga resonansi yang menyimpan dan mengamplifikasi cahaya. Seluruh laser heterostruktur semikonduktor (termasuk laser biru pemenang Nobel) pada dasarnya adalah Fabry-Perot mikroskopik.