Optika geometris dari Bab 1 gagal menjelaskan fenomena di mana dimensi sistem sebanding dengan panjang gelombang. Deskripsi gelombang memungkinkan kita memahami interferensi, difraksi, dan dispersi — serta menyiapkan landasan untuk teori elektromagnetik di Bab 3.
Seluruh kerangka Bab 1 — prinsip Fermat, hukum Snellius, pembentukan bayangan — memperlakukan cahaya sebagai sinar tanpa dimensi lintasan. Pendekatan ini secara inheren tidak dapat menjelaskan fenomena berikut:
Domain validitas optika gelombang mencakup skala di mana dimensi sistem $D$ sebanding dengan atau lebih kecil dari panjang gelombang ($D \lesssim \lambda$ hingga $D \gg \lambda$). Pada skala ini, sifat gelombang cahaya — fase, panjang gelombang, superposisi — menjadi dominan. Bab ini membangun kerangka matematika untuk menangani fenomena-fenomena tersebut.
Pada akhir abad ke-17 dan sepanjang abad ke-18, pandangan dominan tentang sifat cahaya adalah teori korpuskuler yang dikemukakan oleh Isaac Newton: cahaya terdiri dari partikel-partikel kecil (korpuskel) yang merambat lurus dan memantul sesuai hukum tumbukan elastis. Teori ini dapat menjelaskan pemantulan dan pembiasan dengan memuaskan, sehingga diterima luas selama lebih dari satu abad.
Pada tahun 1801, Thomas Young melakukan eksperimen yang kini terkenal sebagai double-slit experiment (eksperimen celah ganda), yang memberikan bukti kuat bahwa cahaya memiliki sifat gelombang. Ide ini sebenarnya sudah dikemukakan oleh Christiaan Huygens pada tahun 1678, tetapi tertimbang oleh otoritas Newton.
Young mengamati bahwa pada layar terbentuk serangkaian pola terang dan gelap bergantian (fringe) — bukan dua bayangan terang dari masing-masing celah seperti yang diprediksi teori korpuskuler. Pola ini merupakan ciri khas interferensi, fenomena yang hanya dapat terjadi jika cahaya berperilaku sebagai gelombang yang dapat saling superposisi.
Dalam teori partikel Newton, cahaya dari celah $S_1$ menambah intensitas cahaya dari celah $S_2$ di setiap titik pada layar. Intensitas harus selalu bertambah atau tetap sama — tidak pernah berkurang menjadi nol. Kehadiran daerah gelap (di mana intensitas justru berkurang dibandingkan hanya satu celah yang terbuka) tidak dapat dijelaskan oleh penjumlahan sederhana partikel. Hanya superposisi gelombang dengan fase yang berbeda yang dapat menghasilkan pemusnahan (destructive interference).
Untuk menganalisis eksperimen ini secara kuantitatif, kita memerlukan kerangka matematika gelombang yang akan dibangun di bagian berikut.
Gelombang bidang adalah solusi paling sederhana dari persamaan gelombang dan menjadi blok bangunan fundamental untuk analisis optika gelombang. Sesuai namanya, permukaan fase konstan (wavefront) dari gelombang ini membentuk bidang-bidang datar yang saling sejajar.
Gelombang bidang monokromatik (satu frekuensi) yang merambat dalam arah sembarang $\hat{\mathbf{k}}$ dapat ditulis dalam notasi kompleks sebagai:
di mana $A_0$ adalah amplitudo kompleks (mengandung informasi fase awal), $\mathbf{k}$ adalah vektor gelombang, $\omega$ adalah frekuensi sudut, dan medan fisik yang terukur adalah bagian real: $\text{Re}[\psi(\mathbf{r},t)]$.
Vektor gelombang $\mathbf{k}$ menunjuk ke arah perambatan gelombang dengan besaran yang terkait dengan panjang gelombang $\lambda$:
Dalam medium dengan indeks bias $n$, panjang gelombang berkurang menjadi $\lambda_n = \lambda_0/n$ (di mana $\lambda_0$ adalah panjang gelombang di ruang hampa), sehingga:
di mana $k_0 = 2\pi/\lambda_0 = \omega/c$ adalah bilangan gelombang di ruang hampa.
Fase gelombang pada posisi $\mathbf{r}$ dan waktu $t$ adalah $\Phi(\mathbf{r},t) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t$. Permukaan fase konstan memenuhi $\Phi = \text{konstan}$, yang pada waktu tertentu $t$ memberikan:
Jarak antara dua bidang fase konstan berturut-turut (yang berbeda fase sebesar $2\pi$) adalah tepat satu panjang gelombang $\lambda$.
Karena frekuensi $\omega$ tetap (monokromatik), sering kali lebih praktis memisahkan dependensi waktu dan menulis:
di mana $U(\mathbf{r})$ disebut fasor ruang (spatial phasor) atau amplitudo kompleks. Operasi linear (penjumlahan, diferensiasi parsial terhadap posisi) dapat dilakukan pada $U(\mathbf{r})$ saja, dan faktor $e^{-i\omega t}$ ditambahkan kembali di akhir. Ini sangat menyederhanakan perhitungan.
Ada dua konvensi yang umum digunakan: $e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$ (konvensi fisika/teori sinyal) dan $e^{i(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}$ (konvensi teknik listrik/fisika kondensat). Dalam catatan ini, kita secara konsisten menggunakan konvensi pertama. Konsekuensinya, gelombang yang merambat ke kanan ($+x$) memiliki $\mathbf{k}$ positif. Pastikan untuk tidak mencampur kedua konvensi dalam satu perhitungan.
Interferensi adalah fenomena superposisi dua atau lebih gelombang yang menghasilkan distribusi intensitas yang bukan sekadar penjumlahan intensitas individual. Kunci pemahamannya terletak pada sifat gelombang: ketika dua gelombang bertemu, yang bertambah adalah medan (amplitudo kompleks), bukan intensitas.
Jika $\psi_1$ dan $\psi_2$ adalah dua gelombang, maka medan total pada titik pertemuan adalah:
Intensitas total (proporsional terhadap kuadrat medan) adalah:
Suku silang (cross-term) $\psi_1\psi_2^* + \psi_1^*\psi_2$ inilah yang menyebabkan pola interferensi.
Pertimbangkan geometri pada Gambar 2.3. Dua celah $S_1$ dan $S_2$ dipisahkan jarak $d$, dan layar pengamatan berada pada jarak $L \gg d$. Titik $P$ pada layar berada pada ketinggian $y$ dari sumbu pusat. Jarak dari masing-masing celah ke titik $P$ adalah $r_1$ dan $r_2$.
Untuk menghitung perbedaan jalan optik $\Delta = r_2 - r_1$ secara eksak tanpa langsung mengasumsikan rumus trigonometri, kita buat sistem koordinat dengan titik asal $(0,0)$ terletak di tengah-tengah antara kedua celah pada sumbu utama. Berdasarkan geometri ini, posisi spasial masing-masing elemen adalah:
Metode 1: Manipulasi Aljabar Selisih Kuadrat Terapkan teorema Pythagoras sederhana untuk menentukan panjang geometris lintasan $r_1$ dan $r_2$ dari masing-masing segitiga siku-siku yang terbentuk:
Kurangkan persamaan $r_2^2$ dengan $r_1^2$ untuk mengeliminasi komponen kuadrat statis $L^2, y^2,$ dan $d^2/4$:
Faktorkan sisi kiri persamaan menggunakan identitas aljabar selisih kuadrat $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
Karena jarak layar pengamatan sangat jauh dibandingkan jarak antar celah ($L \gg d$) dan pergeseran vertikal titik deteksi paraksial berukuran kecil ($L \gg y$), maka panjang lintasan sinar mendekati jarak tegak lurusnya, yaitu $r_1 \approx L$ dan $r_2 \approx L$. Dengan demikian, suku penyebut dapat didekati sebagai $r_2 + r_1 \approx 2L$. Substitusi ini menghasilkan bukti rumus paraksial:
Metode 2: Pendekatan Ekspansi Deret Binomial Sebagai metode alternatif, kita dapat menarik keluar faktor skala jarak $L^2$ dari dalam akar kuadrat fungsi panjang Pythagoras:
Gunakan teorema ekspansi deret Binomial Taylor $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ yang berlaku untuk nilai parameter kecil $x \ll 1$ karena nilai penyebut $L^2$ sangat mendominasi:
Lakukan ekspansi Binomial yang sama untuk menentukan panjang fungsi lintasan sinar atas $r_1$:
Kurangkan hasil ekspansi linear $r_2$ dengan $r_1$ untuk memperoleh nilai perbedaan selisih jarak jalur gelombang optiknya:
Karena dari definisi trigonometri segitiga besar antara sumbu celah ke layar diperoleh nilai hubungan parameter $\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$, maka pembuktian kedua metode ini konsisten menghasilkan rumus yang sama:
Langkah 5: Konversi ke Perbedaan Fase dan Intensitas Perbedaan fase ($\delta$) gelombang yang terbentuk akibat selisih jarak jalur optik dihitung melalui hubungan linear konstanta gelombang $k = \frac{2\pi}{\lambda}$:
Superposisi dua medan listrik gelombang skalar bermedan amplitudo sama ($A$) menghasilkan distribusi nilai intensitas interferensi di titik $P$ sebesar:
di mana $I_0$ melambangkan intensitas tunggal pancaran celah bebas tanpa interaksi.
Langkah 6: Kondisi Batas Fringe Terang dan Gelap
Interferensi hanya teramati jika kedua gelombang memiliki koherensi mutlak — yaitu, perbedaan fase di antara mereka tetap konstan terhadap waktu. Inilah mengapa Young menggunakan satu sumber titik yang kemudian dibagi menjadi dua oleh celah ganda (pembagian gelombang), bukan dua sumber terpisah. Dua lampu pijar yang berbeda, meskipun monokromatik, tidak akan menghasilkan interferensi yang teramati karena fase masing-masing berfluktuasi secara acak dan independen.
Dalam sebuah eksperimen celah ganda Young, dua celah sempit dipisahkan oleh jarak \(d = 0{,}25\text{ mm}\) dan disinari oleh berkas cahaya monokromatik dari laser He-Ne dengan panjang gelombang \(\lambda = 632{,}8\text{ nm}\). Pola pita interferensi diamati pada layar yang ditempatkan sejauh \(L = 1{,}5\text{ m}\) di belakang celah. Berdasarkan konfigurasi geometri paraksial tersebut, tentukan: (a) posisi jarak vertikal (\(y\)) untuk pita terang orde ketiga (\(m = 3\)) dari pusat, dan (b) selisih jarak lintasan optik eksak (\(\Delta = r_2 - r_1\)) foton yang bertemu di titik terang ke-3 tersebut.
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Menghitung Posisi Vertikal Pita Terang ke-3 (\(y_3\)): Sesuai hukum interferensi konstruktif, pita terang terjadi saat selisih lintasan memenuhi kelipatan bilangan bulat panjang gelombang (\(d \sin\theta = m\lambda\)). Menggunakan pendekatan sudut kecil (paraksial) \(\sin\theta \approx \tan\theta = y/L\), rumusnya menjadi: \(y_m = \dfrac{m \cdot \lambda \cdot L}{d}\) Selaraskan seluruh satuan panjang ke dalam meter (\(d = 2{,}5 \times 10^{-4}\text{ m}\) dan \(\lambda = 632{,}8 \times 10^{-9}\text{ m}\)): \(y_3 = \dfrac{3 \cdot (632{,}8 \times 10^{-9}\text{ m}) \cdot 1{,}5\text{ m}}{2{,}5 \times 10^{-4}\text{ m}}\) \(y_3 = \dfrac{2{,}8476 \times 10^{-6}}{2{,}5 \times 10^{-4}} = 0{,}01139\text{ m}\) \(y_3 = \mathbf{11{,}39\text{ mm}}\) (b) Menghitung Selisih Jarak Lintasan Optik Eksak (\(\Delta\)): Pola interferensi konstruktif (pita terang) terbentuk karena fase gelombang yang sefasa dari kedua celah berpadu saling menguatkan. Suku silang amplitudo kompleks akan bernilai maksimum apabila perbedaan lintasan optiknya tepat membentuk kelipatan bulat dari gelombang cahaya penuh itu sendiri: \(\Delta = r_2 - r_1 = m \cdot \lambda\) Substitusikan parameter nilai orde \(m = 3\) untuk titik terang ketiga: \(\Delta = 3 \cdot (632{,}8\text{ nm}) = 1898{,}4\text{ nm}\) \(\Delta = \mathbf{1{,}8984 \times 10^{-6}\text{ m} \quad (1{,}8984\ \mu\text{m})}\) Analisis Fisika: Meskipun jarak posisi vertikal titik terang ke-3 di layar bergeser sejauh \(11{,}39\text{ mm}\) dari sumbu pusat utama, selisih jarak tempuh nyata antara dua berkas sinar laser yang mengalir dari celah \(S_1\) dan \(S_2\) tersebut sebenarnya hanya berbeda sebesar \(1{,}8984\ \mu\text{m}\). Jarak super mikroskopis yang setara dengan panjang 3 buah gelombang penuh inilah yang memicu superposisi medan elektromagnetik menghasilkan penguatan intensitas cahaya maksimum pada layar deteksi.
Untuk memahami bagaimana energi dan informasi merambat di dalam gelombang non-monokromatik, kita harus menganalisis interaksi antara beberapa komponen harmonik terpisah. Skenario paling mendasar adalah superposisi dari dua gelombang skalar bermedan amplitudo seragam $A$, namun memiliki frekuensi sudut ($\omega$) dan bilangan gelombang ($k$) yang memiliki selisih sangat kecil. Skenario ini memicu fenomena modulasi spasial-temporal yang secara akustik dikenal sebagai layangan bunyi (beats).
Misalkan kedua gelombang tersebut merambat sepanjang sumbu-$z$ di dalam medium homogen:
Langkah 1: Penerapan Identitas Trigonometri Penjumlahan Gabungan total medan gelombang di sembarang titik spasial dan waktu ditentukan melalui prinsip superposisi linear $\psi = \psi_1 + \psi_2$:
Gunakan identitas trigonometri standar untuk penjumlahan dua fungsi kosinus, $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$. Dalam konteks ini, kita definisikan variabel sudut $\alpha$ dan $\beta$ sebagai:
Langkah 2: Substitusi Variabel Rata-Rata dan Selisih Setengah Hitung nilai selisih setengah ($\frac{\alpha - \beta}{2}$) dan nilai jumlah setengah ($\frac{\alpha + \beta}{2}$) secara teliti:
Untuk menyederhanakan notasi persamaan fisisnya, kita definisikan nilai parameter rata-rata ($\bar{\omega}, \bar{k}$) dan nilai selisih setengah ($\Delta\omega, \Delta k$) sebagai berikut:
Substitusikan definisi parameter konvergensi paraksial tersebut kembali ke dalam fungsi penjumlahan identitas kosinus awal, sehingga menghasilkan bentuk superposisi modular:
Langkah 3: Analisis Fisika Komponen Gelombang Persamaan hasil akhir di atas menunjukkan bahwa gelombang total terbagi menjadi dua komponen fisis yang memiliki skala waktu dan ruang yang kontras:
Langkah 4: Perumusan Kecepatan Grup ($v_g$) Profil selubung atau envelope yang membawa paket energi ini bergerak merambat sepanjang medium dengan kecepatan rambat konstan sebesar:
Ketika spektrum gelombang pembentuknya menjadi sangat rapat dan kontinu, selisih frekuensi sudut mendekati batas limit nol ($\Delta\omega \to 0$). Dalam batas kalkulus diferensial ini, rasio selisih berubah menjadi nilai kebalikan dari turunan bilangan gelombang terhadap frekuensi sudut:
Inilah yang didefinisikan sebagai Kecepatan Grup (Group Velocity, $v_g$). Pendekatan invers ini sangat kuat secara fisis karena suku $\dfrac{dk}{d\omega}$ mempresentasikan kelambatan grup per satuan panjang (*group delay per unit length*). Kecepatan grup merupakan laju riil dari perambatan amplop paket gelombang tunggal yang memuat informasi data digital atau aliran fluks energi elektromagnetik (vektor Poynting).
Informasi selalu dikodekan dalam modulasi (perubahan amplitudo atau fase dari waktu ke waktu), bukan dalam osilasi murni gelombang carrier yang tak terbatas. Oleh karena itu, kecepatan grup — bukan kecepatan fase — yang menentukan kecepatan transmisi sinyal. Untuk pulsa cahaya di serat optik komunikasi, $v_g$ menentukan waktu tempuh pulsa dan $dv_g/d\omega$ menentukan seberapa cepat pulsa melebar (broadening) selama perambatan.
Dispersi adalah fenomena di mana kecepatan perambatan gelombang bergantung pada frekuensinya. Dalam konteks optika, ini termanifestasi sebagai ketergantungan indeks bias terhadap panjang gelombang: $n = n(\lambda)$. Hubungan fungsional $\omega(k)$ disebut hubungan dispersi (dispersion relation).
Dari persamaan gelombang elektromagnetik di medium dielektrik (Bab 3), hubungan dispersi untuk gelombang bidang adalah:
Medium dikatakan nondispersif jika $n$ konstan (tidak bergantung pada $\omega$), sehingga $\omega = (c/n)k$ — hubungan linear. Medium dikatakan dispersif jika $n$ berubah dengan $\omega$.
Hubungan dengan Indeks Bias Grup dan Persamaan Rayleigh Kita dapat menghubungkan bentuk invers kecepatan grup ini dengan parameter indeks bias material ($n$) dan kecepatan fase ($v_p = c/n$). Bilangan gelombang di dalam medium optik dirumuskan sebagai:
Lakukan penurunan total fungsi bilangan gelombang $k$ terhadap frekuensi sudut $\omega$ menggunakan aturan perkalian kalkulus:
Suku di dalam kurung didefinisikan sebagai Indeks Bias Grup (Group Refractive Index, $n_g$), yaitu $n_g = n + \omega \dfrac{dn}{d\omega}$. Balikkan hasil turunan tersebut untuk memperoleh nilai kecepatan grup sistem:
Untuk mengonversinya ke dalam ruang panjang gelombang vakum ($\lambda_0$) seperti rumusan Persamaan Dispersi Rayleigh, gunakan hubungan variabel $\omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda_0}$. Aturan rantai diferensial memberikan konversi nilai:
Substitusikan hubungan tersebut kembali ke fungsi pembagi kecepatan untuk memunculkan variabel kecepatan fase ($v_p = c/n$):
Menggunakan pendekatan deret Taylor $\dfrac{1}{1-x} \approx 1 + x$ untuk nilai dispersi material kecil, persamaan di atas mereduksi sempurna menjadi bentuk alternatif Rayleigh klasik:
Berdasarkan rumusan fisis ini, perilaku perambatan cahaya di dalam medium material diklasifikasikan menjadi tiga kategori khusus:
Untuk memahami perbedaan kuantitatif antara kecepatan rambat fase individual dan kecepatan rambat paket informasi berdasarkan metode invers turunan, kita tinjau material kaca optik standar Schott BK7 pada spektrum cahaya hijau-biru dengan panjang gelombang vakum $\lambda_0 = 500\,\text{nm}$ ($0{,}5\,\mu\text{m}$). Berdasarkan data konstanta dispersi Sellmeier, diperoleh nilai indeks bias material $n = 1{,}521$ dan laju perubahan indeks terhadap panjang gelombang sebesar $\dfrac{dn}{d\lambda_0} \approx -0{,}036\,\mu\text{m}^{-1}$ (tanda negatif mengindikasikan wilayah dispersi normal di mana material lebih padat bagi spektrum biru).
Langkah 1: Pembuktian Transisi Variabel Dispersi ($\lambda \to \omega$) Turunan hubungan antara ruang frekuensi sudut ($\omega$) dan ruang panjang gelombang vakum ($\lambda_0$) dijembatani oleh konstanta kecepatan cahaya di ruang hampa $c = \nu \cdot \lambda_0 = \dfrac{\omega}{2\pi} \lambda_0 \implies \omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda_0}$. Dengan menggunakan aturan rantai (*chain rule*) kalkulus, kita dapat mengonversi nilai gradien dispersi eksperimental $\dfrac{dn}{d\lambda_0}$ menjadi komponen diferensial frekuensi sudut $\dfrac{dn}{d\omega}$:
Langkah 2: Perhitungan Nilai Diferensial Tanpa Dimensi Pastikan seluruh dimensi parameter telah disetarakan ke dalam basis unit meter ($1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\,\text{m}$ sehingga $\lambda_0 = 0{,}5\,\mu\text{m}$ dan $\dfrac{dn}{d\lambda_0} = -0{,}036\,\mu\text{m}^{-1}$). Masukkan angka karakteristik kaca BK7 ke dalam rumusan rasio dispersi di atas:
Langkah 3: Menghitung Nilai Absolut Kecepatan Fase ($v_p$) Kecepatan fase merepresentasikan laju perambatan depan gelombang tunggal monokromatik di dalam medium, dihitung langsung dari rasio kecepatan cahaya vakum ($c \approx 2{,}998 \times 10^8\,\text{m/s}$) terhadap indeks biasnya:
Langkah 4: Menghitung Indeks Bias Grup ($n_g$) dan Kecepatan Grup ($v_g$) Sesuai metode perumulan invers turunan $\dfrac{dk}{d\omega}$ pada Langkah 5 pembahasan teori, laju paket gelombang ditentukan oleh nilai Indeks Bias Grup ($n_g$):
Gunakan nilai $n_g$ ini untuk menentukan nilai absolut kecepatan grup ($v_g$) pembawa energi informasi:
Langkah 5: Analisis Implikasi Fisika Interaksi Paket Dari hasil perbandingan di atas, diperoleh rasio fisis perambatan medium dispersif:
Perhitungan eksak berbasis metode invers ini membuktikan bahwa di dalam kaca BK7, selubung amplop paket gelombang merambat sekitar 1,17% lebih lambat dibandingkan riak fase individual di dalamnya. Meskipun selisih persentase ini terlihat kecil secara makroskopis di laboratorium, akumulasi keterlambatan ini berakibat fatal pada sistem telekomunikasi serat optik jarak jauh. Paket pulsa cahaya digital yang membawa data informasi akan mengalami distorsi pelebaran spasial kronis (dispersion broadening) seiring bertambahnya jarak tempuh kabel, sebuah fenomena pembatas kapasitas *bandwidth* yang wajib dikompensasi menggunakan rekayasa profil indeks bias material khusus.
Dispersi Normal (Jauh dari resonansi absorpsi):
Dispersi Anomali (Sangat dekat dengan resonansi absorpsi material $\omega_0$):
Secara mikroskopis, fenomena dispersi dan absorpsi dielektrik dapat dipahami secara mendalam melalui Model Osilator Lorentz yang diajukan oleh Hendrik Lorentz. Dalam model mekanika klasik ini, material transparan diperlakukan sebagai kumpulan atom di mana elektron-elektron yang bermuatan negatif terikat pada inti atom yang bermuatan positif yang jauh lebih berat. Sistem ikatan ini dianalogikan sebagai sebuah pegas mekanis dengan konstanta pegas tertentu.
Ketika gelombang elektromagnetik masuk menembus material, medan listrik bolak-balik dari gelombang tersebut, $\mathbf{E}(t) = \mathbf{E}_0 e^{-i\omega t}$, bertindak sebagai gaya penggerak eksternal (driving force) yang memaksa elektron berosilasi. Gerak osilasi elektron ini dihambat oleh dua gaya internal material:
Langkah 1: Perumusan Persamaan Gerak Elektron Berdasarkan Hukum Kedua Newton ($Σ F = m_e \mathbf{a}$), persamaan diferensial gerak untuk satu elektron yang digerakkan oleh medan listrik eksternal bermuatan $e$ dan bermassa $m_e$ adalah:
Dengan mengasumsikan solusi tunak (*steady-state*) berbentuk $\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_0 e^{-i\omega t}$, kita lakukan substitusi turunan terhadap waktu ($\dfrac{d\mathbf{x}}{dt} = -i\omega \mathbf{x}$ dan $\dfrac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = -\omega^2 \mathbf{x}$) ke dalam persamaan gerak:
Isolasi variabel amplitudo pergeseran elektron $\mathbf{x}_0$ untuk mendapatkan nilai respons spasialnya:
Langkah 2: Menghubungkan Makroskopis dan Mikroskopis via Polarisasi Pergeseran posisi elektron ini menciptakan momen dipol listrik mikro sebesar $\mathbf{p} = -e\mathbf{x}$. Jika material memiliki densitas sebesar $N$ atom per satuan volume, maka total Polarisasi Makroskopis ($\mathbf{P}$) di dalam medium dirumuskan sebagai:
Dari hukum konstitutif elektrodinamika makroskopis, hubungan antara polarisasi medium dan medan listrik dinyatakan melalui susceptibilitas elektrik kompleks $\chi_e(\omega)$, yaitu $\mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e(\omega) \mathbf{E}$. Dengan menyamakan kedua rumus tersebut, kita peroleh nilai susceptibilitas elektrik kompleks:
Langkah 3: Formulasi Indeks Bias Kompleks Multi-Resonansi Karena indeks bias kompleks perambatan gelombang berkaitan langsung dengan permitivitas relatif dan susceptibilitas melalui $\tilde{n}^2(\omega) = 1 + \chi_e(\omega)$, kita dapat memperluas model ini untuk atom nyata yang memiliki banyak elektron terikat dengan kekuatan ikatan (oscillator strength) $f_j$ yang berbeda-beda:
di mana konstanta kekuatan osilator memenuhi aturan jumlah Thomas-Reiche-Kuhn ($\sum f_j = 1$), yang menyatakan fraksi elektron efektif yang merespons frekuensi resonansi $\omega_{0j}$ ke-$j$.
Langkah 4: Pemisahan Bagian Real dan Imajinat (Fisis Dispersi & Absorpsi) Indeks bias kompleks dapat dituliskan dalam komponen real ($n$) dan imajiner ($\kappa$) sebagai $\tilde{n} = n + i\kappa$. Kuadrat dari fungsi ini adalah $\tilde{n}^2 = (n^2 - \kappa^2) + i(2n\kappa)$. Untuk material dengan tingkat redaman lemah ($\kappa \ll n$), bagian real dan imajiner dari fungsi pembagi Lorentz dapat dipisahkan secara aproksimasi:
Langkah 5: Limit Transisi Menuju Rumus Empiris Sellmeier Pada wilayah spektrum transparansi tinggi (seperti kaca jendela atau serat optik pada jendela transmisi inframerah), gelombang merambat sangat jauh dari pita resonansi absorpsi elektron ($\omega \ll \omega_{0j}$). Pada kondisi ini, faktor redaman material dapat diabaikan secara mutlak ($\gamma_j \to 0$). Persamaan bagian real Lorentz mereduksi sempurna menjadi:
Jika variabel frekuensi sudut ditransformasikan kembali ke dalam parameter panjang gelombang laboratorium melalui $\omega = \dfrac{2\pi c}{\lambda_0}$ dan $\omega_{0j} = \dfrac{2\pi c}{\lambda_j}$, persamaan di atas berubah menjadi rumus industri yang sangat terkenal, yaitu Persamaan Sellmeier:
di mana $B_j = \dfrac{Ne^2 f_j \lambda_j^2}{4\pi^2 m_e \epsilon_0 c^2}$ melambangkan koefisien empiris Sellmeier yang diperoleh melalui eksperimen fitting data refraksi laboratorium (seperti yang digunakan pada kalkulasi kaca BK7 sebelumnya).
Di daerah transparansi normal (jauh dari resonansi, di mana absorpsi sangat kecil), ketergantungan $n$ pada $\lambda$ dapat didekati oleh deret pangkat yang disebut persamaan Cauchy.
di mana $A$, $B$, $C$, ... adalah konstanta empiris yang bergantung pada material. Untuk banyak kaca optik di daerah visibel, dua suku pertama sudah memberikan akurasi yang memadai. Karena $B > 0$, maka $dn/d\lambda = -2B/\lambda^3 < 0$ — sesuai dengan dispersi normal.
Kaca crown dengan $A = 1{,}5220$ dan $B = 0{,}00459\,\mu\text{m}^2$. Pada $\lambda = 400\,\text{nm}$: $n = 1{,}5507$; pada $\lambda = 700\,\text{nm}$: $n = 1{,}5314$. Selisih $\Delta n = 0{,}0193$ — inilah yang menyebabkan pemisahan warna oleh prisma.
Persamaan Cauchy hanya berlaku di daerah transparansi normal dan untuk rentang panjang gelombang yang tidak terlalu luas. Di dekat resonansi absorpsi, persamaan ini sepenuhnya gagal. Untuk akurasi yang lebih baik dan jangkauan yang lebih luas, digunakan persamaan Sellmeier.
Sebuah material optik berupa kaca flint pekat memiliki konstanta empiris Cauchy dua suku pertama sebesar $A = 1{,}6120$ dan $B = 0{,}01150\ \mu\text{m}^2$ pada wilayah spektrum cahaya tampak. Berdasarkan karakteristik empiris material tersebut, tentukan: (a) indeks bias (\(n\)) material untuk panjang gelombang cahaya biru ($\lambda = 450\text{ nm}$), (b) indeks bias (\(n\)) material untuk panjang gelombang cahaya merah ($\lambda = 650\text{ nm}$), dan (c) laju perubahan indeks bias terhadap panjang gelombang ($dn/d\lambda$) pada spektrum tengah hijau ($\lambda = 550\text{ nm}$).
Langkah-Langkah Penyelesaian: Catatan Penting Satuan: Karena dimensi konstanta $B$ diberikan dalam \(\mu\text{m}^2\), semua nilai input panjang gelombang \(\lambda\) wajib dikonversi dan dimasukkan dalam satuan mikrometer (\(\mu\text{m}\)). (a) Indeks Bias Cahaya Biru (\(\lambda = 450\text{ nm} = 0{,}45\ \mu\text{m}\)): Masukkan parameter ke dalam rumus Cauchy dua suku: $n(0{,}45) = A + \dfrac{B}{\lambda^2} = 1{,}6120 + \dfrac{0{,}01150}{(0{,}45)^2}$ $n(0{,}45) = 1{,}6120 + \dfrac{0{,}01150}{0{,}2025} = 1{,}6120 + 0{,}0568$ $n_{\text{biru}} \approx \mathbf{1{,}6688}$ (b) Indeks Bias Cahaya Merah (\(\lambda = 650\text{ nm} = 0{,}65\ \mu\text{m}\)): Lakukan hal yang sama untuk spektrum merah: $n(0{,}65) = 1{,}6120 + \dfrac{0{,}01150}{(0{,}65)^2} = 1{,}6120 + \dfrac{0{,}01150}{0{,}4225}$ $n(0{,}65) = 1{,}6120 + 0{,}0272$ $n_{\text{merah}} \approx \mathbf{1{,}6392}$ (c) Laju Perubahan Indeks Bias (\(dn/d\lambda\)) pada \(\lambda = 0{,}55\ \mu\text{m}\): Turunan pertama dari persamaan Cauchy terhadap \(\lambda\) menghasilkan: $\dfrac{dn}{d\lambda} = -\dfrac{2B}{\lambda^3} = -\dfrac{2(0{,}01150)}{(0{,}55)^3}$ $\dfrac{dn}{d\lambda} = -\dfrac{0{,}02300}{0{,}16638}$ $\dfrac{dn}{d\lambda} \approx \mathbf{-0{,}1382\ \mu\text{m}^{-1}}$ Analisis Fisika: Nilai turunan pertama bertanda negatif (\(dn/d\lambda < 0\)) secara formal membuktikan terjadinya fenomena dispersi normal, di mana medium menjadi kurang rapat secara optik untuk gelombang yang lebih panjang. Selisih indeks bias antara ujung spektrum biru dan merah sebesar $\Delta n = 0{,}0296$ pada kaca flint ini bernilai relatif besar jika dibandingkan kaca crown ($\Delta n = 0{,}0193). Konsekuensinya, jika material ini dipotong menjadi sebuah prisma, ia akan memisahkan komponen warna dengan sudut deviasi spasial yang jauh lebih lebar dan tajam.
di mana $B_j$ dan $\lambda_j$ adalah parameter empiris. Setiap suku merepresentasikan satu resonansi elektronik pada panjang gelombang $\lambda_j$. Persamaan ini memiliki singularitas pada $\lambda = \lambda_j$ yang mencerminkan resonansi absorpsi. Di antara resonansi, persamaan memberikan hasil yang sangat akurat.
Tiga suku ($N = 3$) cukup untuk akurasi tinggi dari UV dekat hingga IR dekat: $B_1 = 1{,}03961212$, $\lambda_1 = 0{,}00600069867\,\mu\text{m}$; $B_2 = 0{,}231792344$, $\lambda_2 = 0{,}0200179144\,\mu\text{m}$; $B_3 = 1{,}01046945$, $\lambda_3 = 103{,}560653\,\mu\text{m}$. Hasil: $n_F(486\,\text{nm}) = 1{,}5224$, $n_D(589\,\text{nm}) = 1{,}5168$, $n_C(656\,\text{nm}) = 1{,}5143$.
Untuk memperkirakan nilai indeks bias suatu kristal padat transparan pada rentang cahaya tampak, seorang peneliti menyederhanakan Persamaan Sellmeier menjadi satu suku resonansi dominan ($N = 1$). Berdasarkan data fitting eksperimen, material memiliki kekuatan osilator empiris $B_1 = 1{,}431$ dan panjang gelombang resonansi absorpsi ultraviolet pada $\lambda_1 = 0{,}092\ \mu\text{m}$. Berdasarkan model satu suku Sellmeier tersebut, tentukan: (a) ekspresi fungsi kuadrat indeks bias $n^2(\lambda)$ kristal tersebut, dan (b) perkiraan nilai indeks bias murni (\(n\)) material pada panjang gelombang operasional $\lambda = 600\text{ nm}$.
Langkah-Langkah Penyelesaian: Catatan Penting Satuan: Sama seperti pada persamaan Cauchy, seluruh parameter panjang gelombang dalam Persamaan Sellmeier wajib diseragamkan ke dalam satuan mikrometer (\(\mu\text{m}\)). (a) Menentukan Ekspresi Fungsi $n^2(\lambda)$: Substitusikan parameter satu suku ($j = 1$) ke dalam bentuk umum persamaan Sellmeier: $n^2(\lambda) = 1 + \dfrac{B_1 \cdot \lambda^2}{\lambda^2 - \lambda_1^2}$ Masukkan nilai konstanta $B_1 = 1{,}431$ dan $\lambda_1^2 = (0{,}092)^2 = 0{,}008464\ \mu\text{m}^2$: $\boxed{n^2(\lambda) = 1 + \dfrac{1{,}431 \cdot \lambda^2}{\lambda^2 - 0{,}008464}}$ (b) Menghitung Indeks Bias pada $\lambda = 600\text{ nm} = 0{,}60\ \mu\text{m}$: Substitusikan panjang gelombang target $\lambda = 0{,}60\ \mu\text{m}$ ke dalam fungsi hasil langkah (a): $n^2(0{,}60) = 1 + \dfrac{1{,}431 \cdot (0{,}60)^2}{(0{,}60)^2 - 0{,}008464}$ $n^2(0{,}60) = 1 + \dfrac{1{,}431 \cdot 0{,}36}{0{,}36 - 0{,}008464} = 1 + \dfrac{0{,}51516}{0{,}351536}$ $n^2(0{,}60) \approx 1 + 1{,}46545 \approx 2{,}46545$ Akar kuadratkan nilai di atas untuk mengisolasi parameter indeks bias murni (\(n\)): $n = \sqrt{2{,}46545}$ $n \approx \mathbf{1{,}5701}$ Analisis Fisika: Nilai indeks bias hasil kalkulasi ($n \approx 1{,}5701$) menunjukkan karakteristik optik medium yang sangat transparan di wilayah cahaya tampak. Mengapa penyederhanaan satu suku Sellmeier ini sangat akurat di wilayah tampak? Karena panjang gelombang operasional ($\lambda = 0{,}60\ \mu\text{m}$) berada sangat jauh dari titik singularitas resonansi absorpsi ultravioletnya ($\lambda_1 = 0{,}092\ \mu\text{m}$). Pembagi $(\lambda^2 - \lambda_1^2)$ bernilai positif, menandakan model ini bekerja pada daerah dispersi normal yang stabil sebelum kurva meluncur jatuh menuju area dispersi anomali di dekat pita absorpsi.
Dalam rekayasa instrumen optik dan fabrikasi kaca, Angka Abbe (juga dikenal sebagai V-number atau koefisien dispersi) adalah sebuah besaran tanpa dimensi yang mengukur nilai rasio antara daya bias (refraksi) rata-rata material terhadap daya urai (dispersi) kromatiknya. Angka ini berfungsi sebagai indikator kuantitatif utama untuk mengevaluasi seberapa kuat suatu material transparan akan memisahkan warna-warna cahaya yang melintasinya.
Detail Komponen Matematis dan Garis Spektral Fraunhofer: Formulasi di atas didasarkan pada nilai indeks bias material ($n$) yang diukur secara presisi pada tiga panjang gelombang standar garis emisi Fraunhofer di daerah cahaya tampak (visible spectrum):
Hubungan Invers dengan Daya Dispersi: Secara fisis, Angka Abbe berbanding terbalik terhadap daya dispersi material ($\omega = 1/V_D$). Oleh karena itu, cara membaca karakteristik material melalui nilai Angka Abbe adalah sebagai berikut:
Relevansi Desain dalam Sistem Lensa Akromatik (Achromatic Doublet): Pengetahuan tentang Angka Abbe sangat krusial dalam merancang sistem lensa bebas cacat warna (Aberasi Kromatik). Aberasi kromatik terjadi ketika komponen warna biru memfokus lebih dekat ke lensa daripada warna merah. Dengan menggabungkan satu lensa cembung dari kaca Crown (dispersi rendah) dan satu lensa cekung dari kaca Flint (dispersi tinggi) dengan rasio ketebalan yang mematuhi perimbangan Angka Abbe masing-masing material:
Sistem optik doublet tersebut dapat memfokuskan kembali dua panjang gelombang ekstrem ($F$ dan $C$) tepat pada satu titik fokus yang sama. Hal ini menghilangkan pinggiran warna pelangi yang mengganggu, sebuah teknik dasar yang esensial dalam pembuatan lensa kamera, teleskop, dan mikroskop berkualitas tinggi.
Aberasi kromatik pada lensa. Karena $n$ bergantung pada $\lambda$, panjang fokus lensa juga bergantung pada panjang gelombang: $f(\lambda) = 1 / \left[(n(\lambda)-1)(1/R_1 - 1/R_2)\right]$. Cahaya biru ($n$ lebih besar) difokuskan lebih dekat ke lensa daripada cahaya merah. Koreksinya dilakukan dengan achromatic doublet — lensa konvergen krown dan lensa divergen flint yang disatukan, memenuhi kondisi $\Phi_1/V_1 + \Phi_2/V_2 = 0$.
Melebarnya pulsa di serat optik. Dispersi menyebabkan komponen frekuensi dalam pulsa memiliki kecepatan grup berbeda, sehingga pulsa melebar seiring perambatan:
di mana $D_\lambda$ adalah koefisien dispersi kromatik (ps/(nm·km)). Jika melebar pulsa sebanding dengan periode bit, pulsa bertumpang tindih dan informasi hilang — ini menetapkan batas bit rate untuk komunikasi serat optik.
Untuk serat standar pada $\lambda = 1550\,\text{nm}$, $D_\lambda \approx 17\,\text{ps}/(\text{nm}\cdot\text{km})$. Dengan sumber laser ($\Delta\lambda \approx 0{,}1\,\text{nm}$) pada jarak $100\,\text{km}$: $\Delta\tau \approx 170\,\text{ps}$, membatasi $B \lesssim 6\,\text{Gbps}$. Inilah mengapa serit dispersion-shifted (di mana $D_\lambda \approx 0$ pada $\lambda \approx 1550\,\text{nm}$) menjadi standar industri telekomunikasi.
Jika interferensi adalah fenomena superposisi gelombang dari dua sumber terpisah, difraksi adalah fenomena superposisi gelombang dari banyak sumber kontinu — yaitu seluruh titik pada satu bukaan. Difraksi menyebabkan cahaya melengkung melewati tepi rintangan dan membentuk pola khas yang tidak dapat diprediksi oleh optika geometris.
Setiap titik pada suatu wavefront dapat dianggap sebagai sumber gelombang sekunder berbentuk gelombang bola. Gelombang total di titik mana pun di belakang wavefront tersebut adalah superposisi (dengan memperhatikan fase dan amplitudo) dari seluruh gelombang sekunder ini.
Ketika gelombang bidang melewati sebuah celah sempit dengan lebar $a$, prinsip Huygens-Fresnel mengharuskan kita mensuperposisikan gelombang sekunder dari setiap titik pada bukaan. Hasilnya adalah pola difraksi dengan intensitas yang bergantung pada sudut $\theta$ terhadap sumbu pusat.
Untuk menurunkan fungsi distribusi intensitas secara rigor, kita bagi celah sepanjang sumbu-$y$ dari koordinat batas $y = -a/2$ hingga $y = +a/2$. Kita asumsikan gelombang bidang monokromatik datang tegak lurus celah dengan amplitudo medan listrik per satuan lebar sebesar $E_0/a$.
Langkah 1: Formulasi Kontribusi Medan Diferensial ($dE$) Setiap elemen kecil bukaan celah sepanjang $dy$ bertindak sebagai sumber titik sekunder Huygens. Di titik pengamatan jauh pada layar (sudut $\theta$), elemen ini memberikan kontribusi komponen medan listrik diferensial $dE$ dengan perbedaan fase yang bergantung pada posisi ketinggiannya $y$. Menggunakan representasi bilangan kompleks phasors:
Perbedaan jalan optik antara sinar yang memancar dari pusat celah ($y=0$) dengan sinar dari ketinggian $y$ adalah $\Delta r = y \sin\theta$. Oleh karena itu, pergeseran fase spasial terkait adalah $\phi(y) = k \Delta r = k y \sin\theta$, di mana $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$. Dengan mengabaikan faktor propagasi statis $e^{i(kz - \omega t)}$, kita peroleh:
Langkah 2: Integrasi Total Medan Listrik ($E_{\text{total}}$) Medan listrik total $E(\theta)$ di titik layar $P$ diperoleh dengan mengintegrasikan seluruh kontribusi elemen sekunder dari batas bawah hingga batas atas celah:
Substitusikan batas-batas integrasi tersebut ke dalam fungsi eksponensial kompleks:
Langkah 3: Manipulasi Menggunakan Identitas Euler Gunakan identitas Euler untuk fungsi sinus kompleks, yaitu $\sin x = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \implies e^{ix} - e^{-ix} = 2i \sin x$. Dengan mendefinisikan variabel sudut bantu $\beta$ sebagai setengah dari total perbedaan fase antara kedua ujung celah:
Persamaan medan listrik di atas dapat ditulis ulang menjadi:
Karena dari definisi variabel diperoleh $a k \sin\theta = 2\beta$, kita dapat menyederhanakan rasio medan tersebut menjadi fungsi amplitudo terskala:
Langkah 4: Distribusi Intensitas Difraksi ($I$) Intensitas gelombang $I(\theta)$ sebanding dengan kuadrat amplitudo medan listrik nyata, $I \propto \vert{}E\vert{}^2$. Dengan menetapkan $I_0 \propto \vert{}E_0\vert{}^2$ sebagai intensitas puncak maksimum tepat di pusat sumbu deteksi ($\theta = 0 \implies \beta \to 0$), kita peroleh hukum distribusi difraksi celah tunggal Fraunhofer:
Langkah 5: Penentuan Kondisi Minimum (Gelap) Pita gelap atau minimum intensitas terjadi ketika nilai fungsi pembilang bernilai nol, yaitu $\sin(\beta) = 0$, dengan syarat nilai penyebut tidak boleh bernilai nol ($\beta \neq 0$) karena limit $\lim_{\beta \to 0} \frac{\sin\beta}{\beta} = 1$ membentuk puncak terang pusat.
Langkah 6: Lebar Spasial Pita Terang Pusat ($\Delta y_{\text{central}}$) Pita terang pusat dibatasi oleh dua titik minimum pertama di kedua sisi sumbu, yaitu untuk orde $m = +1$ dan $m = -1$. Menggunakan pendekatan paraksial sudut kecil ($\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{y}{L}$), posisi linier minimum pertama pada layar pengamatan berjarak $L$ adalah:
Lebar total dari bukaan berkas pita terang utama pusat ($\Delta y_{\text{central}}$) dihitung dari jarak spasial antara kedua titik minimum tersebut:
Hubungan invers berbanding terbalik ini membuktikan konsekuensi optik fisis yang unik: semakin sempit lebar celah fisis $a$, maka pancaran berkas pola difraksi cahaya di layar justru akan semakin melebar secara spasial — sebuah manifestasi langsung bahwa pembatasan paraksial bukan "memfokuskan" energi cahaya seperti lensa, melainkan menyebarkannya akibat sifat gelombang.
Difraksi menetapkan batas fundamental bagi resolusi setiap sistem pencitraan. Bahkan lensa sempurna tanpa aberasi tidak dapat memfokuskan cahaya ke titik yang lebih kecil dari diffraction-limited spot yang ditentukan oleh bukaan pupil. Kriteria Rayleigh menyatakan bahwa dua titik objek baru dapat di-resolve jika pusat pola difraksi satu berimpit dengan minimum pertama pola difraksi yang lain. Inilah mengapa teleskop dengan bukaan yang lebih besar selalu memiliki resolusi yang lebih baik — bukan hanya karena mengumpulkan lebih banyak cahaya, tetapi karena bukaan yang lebih besar mengurangi efek difraksi.
Kisi difraksi (diffraction grating) merupakan perangkat optik yang terdiri dari sejumlah besar celah sempit (transmission grating) atau alur reflektif (reflection grating) yang tersusun paralel dengan jarak periodik yang sangat seragam. Jika eksperimen celah ganda Young memecah satu gelombang menjadi dua sumber koheren, kisi difraksi memecahnya menjadi N sumber koheren — dengan N biasanya bernilai ribuan hingga puluhan ribuan. Konsekuensinya sangat dramatis: pita-pita interferensi utama menjadi sangat tajam, dan alat ini mampu memisahkan komponen-komponen panjang gelombang yang sangat berdekatan sekalipun, menjadikannya tulang punggung spektroskopi modern.
Langkah 1: Persamaan Kisi Difraksi Perhatikan dua celah bersebelahan $S_1$ dan $S_2$ pada Gambar 2.10, dipisahkan oleh jarak $d$. Gelombang datang sebagai gelombang plan (sinar sejajar) dan dibelokkan pada sudut difraksi $\theta$ terhadap normal kisi. Dari konstruksi geometri wavefront — dengan menarik garis tegak lurus terhadap arah difraksi yang melalui $S_1$ — selisih jalan optik antara sinar dari $S_2$ dan $S_1$ adalah:
Kondisi interferensi konstruktif (pita terang orde $m$) terjadi saat selisih jalan ini merupakan kelipatan bilangan bulat panjang gelombang:
Inilah persamaan kisi difraksi. Perhatikan bahwa bentuknya identik dengan kondisi celah ganda — perbedaan mendasar bukan terletak pada posisi pita terang, melainkan pada ketajaman dan jumlah pita yang muncul.
Langkah 2: Superposisi Medan dari N Celah Misalkan setiap celah memancarkan gelombang skalar dengan amplitudo kompleks $E_0$. Jika celah-celah dinomori $n = 0, 1, 2, \dots, N{-}1$, dan celah ke-$n$ memiliki fase tambahan $n\delta$ relatif terhadap celah ke-0 (karena selisih jalan optik $n \cdot d\sin\theta$), maka medan total di titik pengamatan adalah:
di mana perbedaan fase antara celah bersebelahan didefinisikan sebagai:
Langkah 3: Evaluasi Deret Geometri Jumlah tersebut merupakan deret geometri dengan rasio $r = e^{i\delta}$. Menggunakan rumus jumlah deret geometri berhingga:
Kuadrat magnitudo jumlah deret ini (yang proporsional terhadap intensitas) dihitung sebagai:
Menggunakan identitas trigonometri $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$:
Langkah 4: Distribusi Intensitas N Celah Intensitas total pada sudut $\theta$ adalah:
di mana $I_0$ adalah intensitas dari satu celah tunggal yang berfungsi secara independen.
Langkah 5: Analisis Maksimum Utama (Principal Maxima) Pada kondisi $\delta = 2m\pi$ (yaitu $d\sin\theta = m\lambda$), baik pembilang maupun penyebut bernilai nol. Menggunakan aturan L'Hôpital:
Sehingga intensitas pada maksimum utama adalah:
Intensitas puncak skala kuadratik terhadap jumlah celah — sebuah kisi dengan 10.000 celah menghasilkan puncak yang $10^8$ kali lebih intensif dibanding satu celah tunggal.
Langkah 6: Minimum dan Maksimum Sekunder Intensitas bernilai nol (minimum) ketika pembilang $\sin(N\delta/2) = 0$ tetapi penyebut $\sin(\delta/2) \neq 0$:
Artinya, terdapat $N-1$ buah minimum di antara dua maksimum utama yang bersebelahan. Konsekuensinya, terdapat $N-2$ buah maksimum sekunder di antara minimum-minimum tersebut. Intensitas maksimum sekunder sangat kecil: yang terbesar (yang paling dekat dengan puncak utama) hanya sekitar $\sim 4.5\%$ dari intensitas puncak utama untuk $N$ besar.
Langkah 7: Lebar Setengah Puncak Utama Minimum pertama di sebelah puncak utama orde-$m$ terjadi pada $\delta = 2m\pi \pm \frac{2\pi}{N}$. Dalam satuan sudut difraksi:
Lebar puncak berbanding terbalik dengan $N$ — semakin banyak celah, semakin tajam puncaknya. Inilah mekanisme fundamental mengapa kisi difraksi dengan ribuan celah mampu menghasilkan resolusi spektral yang luar biasa.
Kemampuan sebuah kisi untuk memisahkan dua garis spektral yang berdekatan panjang gelombangnya dikuantifikasi melalui daya resolusi (resolving power) $R$. Menurut kriteria Rayleigh, dua garis spektral $\lambda$ dan $\lambda + \Delta\lambda$ dikatakan terresolusi pada orde-$m$ jika puncak satu garis tepat bertumpang tindih dengan minimum pertama garis lainnya.
Dari analisis Langkah 7 di atas, minimum pertama di samping puncak orde-$m$ terjadi pada $\delta = 2m\pi + \frac{2\pi}{N}$, yang setara dengan:
Untuk panjang gelombang $\lambda + \Delta\lambda$ yang puncak orde-$m$-nya jatuh tepat pada posisi minimum ini:
Menyamakan kedua persamaan dan mengabaikan suku orde tinggi $\Delta\lambda/N$:
Sehingga daya resolusi kisi difraksi adalah:
Daya resolusi bergantung pada dua faktor yang dapat dikontrol secara independen: orde difraksi $m$ dan jumlah total celah $N$ yang terilluminsasi. Sebuah kisi dengan 10.000 celah yang digunakan pada orde kedua memiliki $R = 20.000$, mampu membedakan dua garis spektral yang panjang gelombangnya berbeda hanya $\sim 0{,}005\%$.
Formula intensitas pada Langkah 4 mengasumsikan setiap celah bertindak sebagai sumber titik isotropik. Pada kenyataannya, setiap celah memiliki lebar finite $a$, dan oleh karena itu memancarkan gelombang dengan pola difraksi Fraunhofer celah tunggal sebagai envelope (amplop) yang memodulasi intensitas multi-celah:
Envelope ini memiliki minimum pada $\alpha = p\pi$, yaitu $a\sin\theta = p\lambda$ ($p = \pm 1, \pm 2, \dots$). Jika suatu orde kisi $m$ kebetulan jatuh tepat pada minimum envelope ini — yaitu jika $d\sin\theta = m\lambda$ dan $a\sin\theta = p\lambda$ terpenuhi secara simultan — maka orde tersebut tidak akan muncul meskipun memenuhi persamaan kisi. Kondisi orde hilang (missing order) adalah:
Sebagai contoh, jika $d/a = 3$, maka orde $m = 3, 6, 9, \dots$ akan hilang dari pola difraksi karena bertumpang tindih dengan minimum envelope celah tunggal ($p = 1, 2, 3, \dots$).
Karena $|\sin\theta| \leq 1$, persamaan kisi $d\sin\theta = m\lambda$ memberikan batas orde maksimum:
Sebagai contoh, untuk kisi dengan $d = 2\,\mu\text{m}$ dan cahaya $\lambda = 500\,\text{nm}$, orde tertinggi yang dapat diamati adalah $\lfloor 2000/500 \rfloor = 4$. Pada orde yang sangat tinggi (mendekati batas ini), sudut difraksi mendekati $90°$ dan intensitas menurun drastis akibat envelope celah tunggal, sehingga secara praktis hanya orde rendah hingga menengah yang berguna.
Sebuah kisi difraksi transmisi memiliki 6000 garis/cm dan diilluminsasi oleh cahaya monokromatik dari lampu natrium dengan panjang gelombang \(\lambda = 589{,}3\text{ nm}\). Berkas cahaya melalui kisi pada lebar efektif \(W = 3\text{ cm}\). Tentukan: (a) jarak antar celah (\(d\)) dan jumlah total celah (\(N\)) yang terilluminsasi, (b) sudut difraksi (\(\theta\)) untuk orde pertama (\(m = 1\)) dan orde kedua (\(m = 2\)), (c) daya resolusi kisi pada orde kedua, dan (d) selisih panjang gelombang minimum (\(\Delta\lambda\)) yang dapat diresolusi pada orde kedua di sekitar \(\lambda = 589{,}3\text{ nm}\).
Langkah-Langkah Penyelesaian: (a) Jarak Antar Celah (\(d\)) dan Jumlah Celah (\(N\)): Kisi dengan 6000 garis/cm berarti setiap garis (celah) terpisah oleh jarak: \(d = \dfrac{1}{6000\text{ cm}^{-1}} = \dfrac{1}{6000} \times 10^{-2}\text{ m} = 1{,}667 \times 10^{-6}\text{ m}\) Jumlah celah yang terilluminsasi pada lebar efektif \(W = 3\text{ cm}\): \(N = \dfrac{W}{d} = \dfrac{3 \times 10^{-2}\text{ m}}{1{,}667 \times 10^{-6}\text{ m}} = \mathbf{18\,000\text{ celah}}\) (b) Sudut Difraksi untuk Orde 1 dan Orde 2: Menggunakan persamaan kisi \(d\sin\theta = m\lambda\): Orde pertama (\(m = 1\)): \(\sin\theta_1 = \dfrac{1 \times 589{,}3 \times 10^{-9}}{1{,}667 \times 10^{-6}} = 0{,}3535\) \(\theta_1 = \arcsin(0{,}3535) = \mathbf{20{,}71°}\) Orde kedua (\(m = 2\)): \(\sin\theta_2 = \dfrac{2 \times 589{,}3 \times 10^{-9}}{1{,}667 \times 10^{-6}} = 0{,}7070\) \(\theta_2 = \arcsin(0{,}7070) = \mathbf{44{,}95°}\) Verifikasi orde ketiga: \(\sin\theta_3 = 3 \times 0{,}3535 = 1{,}0605 > 1\) → orde 3 tidak ada. Jadi orde maksimum yang teramati adalah \(m = 2\). (c) Daya Resolusi pada Orde Kedua: \(R = mN = 2 \times 18\,000 = \mathbf{36\,000}\) (d) Selisih Panjang Gelombang Minimum (\(\Delta\lambda\)): \(\Delta\lambda = \dfrac{\lambda}{R} = \dfrac{589{,}3\text{ nm}}{36\,000}\) \(\Delta\lambda = \mathbf{0{,}01637\text{ nm}}\)